6.1 定积分的概念与性质2

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1、四、定积分的基本性质性质6.1:设f(x),g(x)在[a,b]上可积,,是任意常数,那么f(x)g(x),f(x)g(x)在[a,b]上可积,bbb而且[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.aaa注:由定积分的定义可以证明:f(x)g(x)与f(x)g(x)在[a,b]上可积.性质6.2:设c(a,b),则f(x)在[a,b]上可积f(x)在[a,c]和[c,b]上都可积;不论a,b,c三点在数轴上的位置如何,只要以下3个积分存在,则一定成立:bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx.aac注:由定积分的定义可以证明:当c

2、(a,b)时,则f(x)在[a,b]上可积的充要条件是f(x)在[a,c]和[c,b]上都可积;bcb而且f(x)dxf(x)dxf(x)dx.aacyf(x)bcb实际上,等式f(x)dxf(x)dxf(x)dxaacx可以通过面积相加的性质来理解(如图).oacb现在证明:不论a,b,c三点在数轴上的位置如何,只要以下3个积分存在,则一定成立:bcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx.aac实际上:a,b,c(不妨设ab)三点在数轴上的位置关系只有3种:(1):acb(2):cab(3):abcbab(2):由于cabf(x)dxf(x

3、)dxf(x)dx.ccacbcabaf(x)dxcf(x)dxaf(x)dxcf(x)dxaf(x)dxcacbb由于af(x)dxcf(x)dx0af(x)dxcf(x)dxaf(x)dx.bb性质6.3:设f(x),g(x)在[a,b]上可积,并且f(x)g(x),x[a,b],则f(x)dxg(x)dx.aa注:设f(x)0,g(x)0,ybg(x)则f(x)dx等于由曲线f(x),直线xa,xb及x轴af(x)围成的曲边梯形的面积,b而g(x)dx等于由曲线g(x),直线xa,xb及x轴aoabx围成的曲边梯

4、形的面积.可以看出:由曲线f(x),直线xa,xb及x轴围成的曲边梯形的面积小于或等于由曲线g(x),直线xa,xb及x轴围成的曲边梯形的面积,bb故f(x)dxg(x)dx.aab推论6.1:设f(x)在[a,b]上可积,且f(x)0,x[a,b],则f(x)dx0.abb证:令g(x)0,x[a,b],则f(x)g(x),且g(x)dx0,故f(x)dx0.aa推论6.2:设f(x)在[a,b]上可积,且存在常数m,M,使得mf(x)M,x[a,b],b则m(ba)f(x)dxM(ba).abb证:由f(x)M,x[a,b]

5、f(x)dxMdxM(ba),aabb由mf(x),x[a,b]m(ba)mdxf(x)dx.aab故m(ba)f(x)dxM(ba).a3例:估计积分值I3xarctanxdx.313证:令f(x)xarctanx,则f(x)arctanx0,x[,3].21x3333故arctanxarctanx3arctan3xarctanx3.33363333333dx3xarctanxdx3dx1833333233323323xarctanxdx3xarctanxdx.1833393332

6、2xx例:估计积分值Iedx.0x2xx2x1证:令f(x)ef(x)e(2x1)x是f(x)在[0,2]上唯一的驻点.211当x[0,),f(x)0,当x(,2],f(x)0.22111故x是极小值点,从而是最小值点,且最小值f()e4.2222而最大值为max{f(0),f(2)}max{1,e}e.11222222e4dxexxdxe2dx2e4exxdx2e2.0000bb性质6.4:设f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上可积,且f(x)dxf(x)dx.aa证:由于f(x)f(x

7、)f(x),x[a,b],bbbf(x)dxf(x)dxf(x)dxaaabbbbbaf(x)dxaf(x)dxaf(x)dxaf(x)dxaf(x)dx.注:若f(x)在[a,b]上可积,但f(x)在[a,b]上有可能不可积.1,x为有理数例:狄立克莱函数D(x).1x为无理数则D(x)1,x[a,b],故D(x)在[a,b]上可积.但可以证明:D(x)在[a,b]上不可积.b