6.1 定积分的概念与性质1

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1、第六章定积分一元函数的积分学包括两个基本问题:一个是不定积分,另一个是定积分.定积分起源于许多实际问题:例如求面积问题、长度、体积等问题.长方形、圆面积的面积与长度.如何求一般图形的面积与曲线长度?bRaSabSR2C2(ab)C2R立方体、圆柱体的体积.Rbhca如何求一般的几何体的体积?例:求圆的面积.思路:用圆内接正n边形的面积逼近圆的面积.且圆的面积定义为:当n时,正n边形的面积的极限值.解：正n多边形面积可分为n个等腰三角形面积的和,2其中任一个三角形的顶角为.n2则该三角形高rco

2、s，该三角形底边长2rsin,故该三角形面积rcossin.nnnn222故正n多边形面积nrcossin,从而圆的面积limnrcossinr.nnnnn注:定积分的想法与求圆的面积想法是一样的.6.1、定积分的概念与性质一、实例yyf(x)曲边梯形的概念:曲边梯形是指这样的四边形：它的一边是曲线弧，另三边是直线，其中两条直边相互平行，第aobx三直边与它们垂直，称为底边.如果曲边梯形的一条平行边(或两条平行边)缩成一点，称之为曲边三角形.yyyyf(x)yf(x)yf(x)xoabxoabx

3、oab例:求曲边梯形的面积设曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0),xa,xb及x轴围成,记其面积为S.yyf(x)定积分的基本思想如下oax1x2xi1ixibx曲边梯形与矩形不同之处在于:曲边梯形的高是变化的.1:用平行于y轴的一组直线细分曲边梯形,就会得到许多小曲边梯形,2:每一个小曲边梯形的曲边用直线代替,称为"以直代曲",3:这样就可以通过计算小矩形的面积和,得到曲边梯形面积的近似值,4:取其极限可以得到面积S.具体作法如下:f()yi(1):分割yf(x)用n1个分点axxxx

4、xxb,012i1in把区间[a,b]分成n个小区间[x,x],[x,x],[x,x],01i1in1n小区间的长度为xixixi1(i1,2,n).oax1x2xi1ixibx过分点x作y轴的平行线,将曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图),in记它们的面积为S(i1,2,n),则有SSSSS.i12nii1(2):近似代替(以直代曲)由于f(x)连续,当分割较细,在小区间内f(x)的值变化不大.故在第i个小区间[x,x]上任取一点,i1ii将第i个小曲边梯形的

5、面积用以x为底,f()为高的小矩形面积近似代替,ii于是Sf()x,(i1,2,n).iii(3):求和n将n个小矩形的面积加起来,得到一个和式f()x(称为黎曼和),iii1nn它是曲边梯形面积的近似值,即SSf()x.iiii1i1f()yiyf(x)oax1x2xi1ixibx(4):取极限n显然,和式f()x与区间[a,b]的分割有关,也与的取法有关.iiii1n但分割越细时,和式f(i)xi越就接近于曲边梯形的面积S.i1例:SS的面积比S的面积更

6、接近于曲边梯形的面积S.231f()yiyf(x)SSS31S2xxoabi1ix1x2xi1ixix那么当分点非常稠密,亦即分割充分细时,它就可以无限接近取边梯形的面积S.n记max{x},则分割充分细可以用0来刻画.因此,定义Slimf()x.iii1in0i1由上述过程可以看出:求曲边梯形的面积关键是计算以下和式的极限.nSlimf()x.ii0i1许多实际问题都可归结为计算以上和式极限问题.例:变速直线运动的路程问题,平面曲线的弧长问题,几何学中旋转体的体积问题.因此

7、有必要把这些问题经过数学抽象使它们统一建立在严格的理论基础上.二、定积分的定义定义6.1:设函数f(x)在[a,b]上有定义,用(a,b)内任意的n1个分点axxxxxb01i1in将区间[a,b]分成n个小区间yyf(x)[x,x],[x,x],[x,x],[x,x],0112i1in1n小区间长度为xxx(i1,2,n).iii1在每个小区间上任取一点[x,x],ii1ino作积f(i)xi(i1,2,n),求和Snf(i)xi.ax1x2xi1ixi

8、bxi1n记max{xi},令0,若不论区间分割如何,i取法如何,极限limf(i)xi存在,1in0i1则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,nbb记作f(x)dx,即f(x)dxlimf(i)xi,aa0i1