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《2.4 (最新)极限运算法则》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.4极限运算法则一、极限运算法则二、求极限方法举例三、综合例题四、小结一、极限运算法则定理设lim()fxA=,lim()gxB=,则(1)lim[()fxgx±()]=±AB.(2)lim[kfx()]=kA.(3)lim[()fxgx⋅()]=⋅AB.fx()A(4)lim=,B≠0.gx()B推论如果lim()fx存在,而是正常数n,则nnlim[()]fx=[lim()].fx11limsinxx=limlimsin⋅=0xx→→00xxx→0limxxx()−+=1limx⋅lim(xx−+=
2、1)0xx→+∞→+∞x→+∞注意1）公式使用的条件：每个函数的极限都要存在2）可以推广到有限个也成立，但是不能推广到无限多个3）若函数中有一个不存在，有什么结论呢？4）对数列也有类似的四则运算定理.若limxn=A,limyn=B,则有n→∞n→∞(1)lim(xn±yn)=A±Bn→∞(2)limxnyn=ABn→∞xnA(3)当yn≠0且B≠0时,lim=n→∞yBn提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理也成立。二、求极限方法举例3x−1例1lim2x→2x−3x+522解∵lim(x−3x+5)=
3、limx−lim3x+lim5x→2x→2x→2x→222=(limx)−3limx+lim5=2−3⋅2+5=3≠0,x→2x→2x→233lim(x−1)=limx−lim1=7x→2xx→→223x3−1lim(x−1)∴limx→272==.x→2x−3x+5lim(xx2−3+5)3x→2未定式(7种)在x的某一趋近过程时，如果函数f(x),g(x)有f()x01.fx()0,()0,→→gx称lim是未定式x→某量gx()0f()x∞2.fx()→∞,()gx→∞,称lim是未定式x→某量gx(
4、)∞3.fx()0,()→→gx∞,称limf()()xgx是0⋅∞未定式x→某量4.fx()→∞,()gx→∞,称lim[()fxgx−()]是∞−∞未定式x→某量limfx()gx()∞5.fx()1,()→→gx∞,称x→某量是1未定式gx()06.fx()→∞,()0,gx→称limfx()是∞未定式x→某量gx()07.fx()0,()0,→→gx称limfx()是0未定式x→某量fx()注：一般地，已知lim=Ax→*gx()(1)若，gx()→0则fx()0;→(2)若，fx()→≠0且A0，
5、则gx()→0,注意分析方法判断未定式？4x−1例2求lim2x→1x+2x−32解∵lim(x+2x−3)=0,商的法则不能用x→1又∵lim(4x−1)=3≠0,x→12x+2x−30∴lim==0.x→14x−13由无穷小与无穷大的关系,得4x−1lim=∞.2x→1x+2x−3小结:nn−11.设f()xaxa=01++x"+an,则有nn−1limf(x)=a(limx)+a(limx)+"+a01nx→x0x→x0x→x0nn−1=ax+ax+"+a=f(x).0010n0P()x2.设fx()
6、=,且Qx()00≠,则有Qx()limP(x)x→x0P(x0)limf(x)===f(x).0x→x0limQ(x)Q(x0)x→x0若Qx()00=,则商的法则不能应用.2x−4x+3例3.limx→3x2−9x=3时分母为0!(x−3)(x−1)=limx→3(x−3)(x+3)0型：x−10=limx→3x+3分解因式，2=约去零因子61=3∞−∞型：通分；13例4求lim(−3)约去零因子x→11−x1−x1313+x+−x2解lim(x→111−−x−x3)=limx→1(1−+x)(1xx+
7、2)2xx+−2x+2=lim2=−lim2=−1x→1(1−+xx)(1+x)x→11++xxmx−1例5求limn,m,n为正整数.x→1x−1m−1m−2(x−1)(x+x+"+x+1)解原式=limn−1n−2x→1(x−1)(x+x+"+x+1)mm−12−xx++++"x1m=lim=nn−−12x→1x+xx+++"1n322x+3x+5例6求lim32x→∞5x+4x−1∞解x→∞时,分子分母的极限都是无穷大（型）35∞322++235xx++xx32lim=lim=.32x→∞541x+−
8、xx→∞4155+−3xx小结:当ab00≠≠0,0,mn和为非负整数时有a0,当nm=,⎧bmm−10ax++ax"+a⎪01m0,当nm>,lim=⎨nn−1x→∞bx++bx"+b01n⎪⎩∞,当nm<,常以自变量的最高次幂除分子和分母,利用无穷小和无穷大的关系,然后再求极限.132n−1例7求lim(2+2+"+2)n→∞nnn解n→∞时,是无限多个无穷小之和．先变形再求极限.1321n−13+++−"（
