资源描述：
《2012-随机过程3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、定义设随机变量X的分布函数F(x),则称为随机变量X的特征函数.补充知识—随机变量的特征函数其中u为实参变量,为复随机变量定义中的积分称为Stieltjes积分，它有如下性质：⑴当g(x)为跳跃函数,且在xi(i=1,2,…)具有跃度pi时有⑵当g(x)存在导数g´(x)时,有利用Stieltjes积分可以统一离散型与连续型随机变量的数学期望定义.对任意实数u,有
2、ejux
3、=1.故E[ejux]总存在.(1)特征函数总是存在的.特征函数的几点说明(2)特征函数的性质ⅰⅱⅲ若Y=aX+b,a,b为常数,则ⅳⅴ若X与Y相互独立,Z=X+Y,则(可推广到n个相互独立
4、随机变量)是非负定的.ⅵ即对任意的n,任意复数Zk,任意实数uk(k=1,2,…,n),有ⅶ设随机变量X的n阶原点矩(即E[Xn])存在,则存在k(k≤n)阶导数,且有(3)一些重要分布的特征函数单点分布P(X=c)=1,c常数.则二项分布k=0,1,…,n.00则特征函数均匀分布r.v.X～U(a,b],密度函数为则特征函数正态分布r.v.X～N(µ,σ2),密度函数为则特征函数特别X～N(0,1)时指数分布r.v.X服从参数为λ(>0)的指数分布,概率密度为则特征函数(4)随机变量的分布函数与其
5、特征函数相互唯一确定.多元特征函数设n维随机变量X=(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,…,xn),则称为n维随机变量X的特征函数.也称多元特征函数多元特征函数具有与一元特征函数类似的性质n维随机变量的特征函数与其联合分布函数是一一对应的特征函数应用举例:随机过程的有限维特征函数族设随机过程X={Xt,t∈T},对任意固定的t1,t2,…,tn∈T,称n维随机变量(Xt1,Xt2,…,Xtn)的特征函数：为随机过程X的n维特征函数.(ui∈R,i=1,2,…,n)为随机过程的有限维特征函数族随机过程的分类与举例随机过程的分类:——可以根据不同
6、的标准对随机过程进行分类.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为离散参数,离散状态的随机过程(生物群体增长)离散参数,连续状态的随机过程(气温变化)连续参数,离散状态的随机过程(网站访问次数)连续参数,连续状态的随机过程(随机初相谐波)例1.伯努利过程与二项过程(离散参数,离散状态)设有随机过程X={Xn,n=1,2,…，},其中X1，X2，X3，…，Xn，…，相互独立同分布.如果Xn同服从0-1分布，则称X为伯努利过程.伯努利过程描述了一系列独立同分布的随机试验.如果令则称S={Sn,n=0,1,2,…，}为二项过程.例2.严高斯白噪声过程(离散参数,连
7、续状态)设有随机过程X={Xn,n=1,2,…，},其中X1，X2，X3，…，Xn，…，相互独立同分布.如果Xn同服从正态分布N(0,),则称X为严高斯白噪声过程.例3.泊松过程（连续参数离散状态）称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程，如果它满足以下三条件：其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。实质上，泊松过程是一种计数过程通常Nt表示直到t时刻为止发生的某随机事件数.一般满足：①②Nt是非负整数③④表示时间间隔t-s内发生的随机事件数．1.电话交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数5.来到某服
8、务窗口的顾客数………..以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一叫做随机点例4.正态(高斯)过程(连续参数连续状态)设X={Xt,t∈[0，+∞}}是一实值随机过程,若对任意n≥1及t1,t2,…,tn∈[0，+∞}n维随机变量{Xt1,Xt2,…,Xtn)}服从n维正态随机变量,则称是正态过程(高斯过程).正态过程的定义可用于一个过程是否为正态过程的验证。补充:n维正态随机变量、分布及性质～试证明过程X是正态过程．其中A,B为相互独立的,且都服从正态分布N(0,σ2)的随机变量,ω是常数．提示：例7验证：正态过程的有限维分布由其均值函数和相关函数确定。
9、根据样本轨道连续与否,随机过程可分为连续轨道随机过程跳跃轨道随机过程例8布朗运动(维纳过程)（连续轨道）若实随机过程W={Wt,t≥0}满足：是平稳的独立增量过程．则称随机过程W是参数为的布朗运动(维纳过程).例9泊松过程与复合泊松过程（跳跃轨道）定义设N={Nt,t≥0}是参数为λ的泊松过程,{Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与N独立.称X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.若将Nt表示[0,t)内的随机点数,Yk表示第k个随机点所携带的某种(能)量,则总量为即X={Xt,t≥0}为复合泊松过程.例10设f(u)是Yn(n=1,2,…)的特征
10、函数，试计算复合泊松过程
