随机过程-3new

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1、在一般情况下随机变量的数学期望与方差只能粗略地反映分布函数的某些特征性质不能完整地刻画分布函数因此为深入研究随机变量的分布特性产生了特征函数的概念可以证明不同的分布函数对应着不同的特征函数而特征函数具有简单实用的特点例如矩的计算对分布函数是积分对特征函数则是微分求独立随机变量和的分布时用分布函数需求卷积用特征函数则化为简单的乘法因此在研究随机变量的分布特性时特征函数起着重要的工具作用1关于随机变量的特征函数定义及性质,我们主要介绍以下几方面内容:一复随机变量定义二特征函数的定义三常见分布的特征函数四特征函数的基本性质五n维随机变量的特征函数2一

2、复随机变量定义定义3.1若X与Y为实随机变量则称Z=X+iY为复随机变量其中i=−1由于复随机变量与二维随机变量(X,Y)紧密相关故其相关概率特性如下定义定义3.2若二维随机变量(X,Y),(X,Y),L,(X,Y)1122nn相互独立则称复随机变量Z=X+iY,Z=X+iY,L,Z=X+iY111222nnn是相互独立的定义3.3若E(X),E(Y)存在则称为复随机变量ZE(Z)=E(X)+iE(Y)的数学期望32例3.1设复随机变量Z=2X+iY2其中X,Y均服从正态分布N(µ,σ)试求E(2Z)2解E(2Z)=2E(Z)=2(E(2X)+

3、iE(Y))2=4E(X)+2iE(Y)2=µ4+2i(D(Y)+(E(Y)))22=4µ+2i(σ+µ)二特征函数的定义定义3.4设X为随机变量称复随机变量eitX的数学期望为X的特征函数记为即itXϕ(t)=E(e)t∈(−∞,+∞)X4由于对任意的实数t总有

4、eitX

5、=1所以对一切随机变量其特征函数总是存在的易见若X为离散型随机变量概率分布为P(X=x)=pk=1,2,Lkk则其特征函数为∞itXitxkϕX(t)=E(e)=∑epkk=1若X为连续型随机变量概率密度为f(x)则其特征函数为+∞itXitxϕ(t)=E(e)=ef(x)

6、dxX∫−∞5例3.2设随机变量X具有概率分布为X012p1/21/31/6k试求其特征函数ϕX(t)itXit⋅01it⋅11it⋅21解ϕ(t)=E(e)=e⋅+e⋅+e⋅X23611it12it=+e+e236111⎛11⎞=+cost+cos2t+i⎜sint+sin2t⎟236⎝36⎠111i=+cost+cos2t+sint(1+cost)23636例3.3设随机变量X具有概率密度为⎧⎪2x0≤x<1f(x)=⎨⎪⎩0其它试求X的特征函数ϕX(t)+∞itXitx解ϕ(t)=E(e)=ef(x)dxX∫−∞1itx1itx111it

7、x=e⋅2xdx=2x⋅e

8、−2edx∫0∫0itit02it2it=e−(e−1)2it(it)it⎡−ie1it⎤2itit=2⎢+2(e−1)⎥=2[]−ite+e−1⎣tt⎦t2=[]−it(cost+isint)+(cost+isint−1)2t72=[](tsint+cost−1)+i(−tcost+sint)2t三常见分布的特征函数两点分布((0-1)分布)设X服从(0-1)分布则其概率分布为k1−kP(X=k)=p(1−p)k=0,10

9、e(1−p)+e⋅pX8二项分布B(n,p)设X服从B(n,p)分布则其概率分布为kkn−kP(X=k)=Cp(1−p),k=0,1,L,n.00k!其特征函数为itλ(e−1)ϕ(t)=eX∞k−λitXitxλe因为ϕX(t)=E(e)=∑e⋅k=0k!∞itk−λ(λe)

10、−λλeitλ(eit−1)=e∑=e⋅e=ek=0k!10均匀分布U(a,b)设X服从U(a,b)分布则其概率分布为⎧1⎪a

11、a=⋅(e−e)ab−ab−ait(b−a)t11指数分布Z()设X服从Z()分布则其概率分布为−αx⎧⎪αex>0α>1f(x)=⎨⎪⎩0x≤02其特征函数为ααtϕ

12、(t)=+iX2222α+tα+t+∞itXitx因为ϕ(t)=E(e)=ef(x)dxX∫−∞+∞αitx−αx(it−α)x+∞=e⋅αedx=e