函数的性质导学案

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1、函数的性质一、考纲要求1•会判断、应用简单函数的周期性.2•会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.3.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.4.会运用函数图象理解和研究函数的单调性.5.理解函数的单调性、最大值、最小值及其儿何意义.二、知识梳理1.周期性（1）周期函数：对于函数y=f（x）,如果存在一个非零常数T,便得当x取定义域内的任何值时，都有f（x+T）=f（x）,那么就称函数y=f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在…个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.2.奇（偶）函数的性质（1）奇函数在关

2、于原点对称的区间上的单调性她，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填"相同〃、“相反〃）•（2）在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数.②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.③一个奇函数，一个偶函数的积前数是奇函数.（3）若函数f（x）是奇函数JI在x=0处有定义，则f（0）=0.3•函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如杲对于函数f（X）的定义域内任意一个X,都有f（-X）=f（X）,那么函数f（X）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f（X）的定义域内任意一个X,都有f（-X）=—f（X）,那么函数f（X）是奇函数关于原点对称4.函数的

3、最值前提设函数y=f（x）的定义域为1,如果存在实数M满足条件(1)对于任意XGI,都有f(x)M；(4)存在XoGI,使得f(xo)=M.结论M为最人值M为最小值5.函数的单调性（1）单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设两数f（X）的定义域为1,如果对于定义域1内某个区间D上的任意两个口变量Xi，x2当X1f（x2）,那么就说函数f（X）在区间D上是减函数续表图象■5)y/wo

4、k2

5、S

6、扫);/W0描述自左向右看图彖是上升的自左向右看图象是下降的（2）单调区间的定义若函数y=f（X）在区间D上是增函数或减函数,则称两数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=f（x）的单调区间.三、要点精析1.奇函数，偶函数:（1）偶函数：设（5?）为偶函数上一点，则（Y』）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于】轴对■称，例如：不是偶函数.②满足71-期・炉，或若时，欝円.（2）奇函数：设（冬占）为奇函数上一点，则（P.T）也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：X-r5在［1H；上不是奇函

7、数.②满足/(F—/W,或rcF-rw",若Ar)-®时1.(1)求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的了集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质.(2)复合函数的单调性：对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数，若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反，则y=f[g(x)

8、]为减函数.简称：同增异减.(3)函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用.2.规律力法求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基木不等式法：先对■解析式变形，使之具备“一正二定三相等〃的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再川相应的方法求最值.3.函数的单调区间可以是整个定义域，也町以是定义域的一部分.对于

9、具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间(0,1)上为减函数，在区间(1,2)上为减函数，就不能说函数在上为减函数.四、典型例题1.(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(一8,a]上是增函数，函数y=f(x+a)是偶函数,当Xia,且

10、xi—a

11、<

12、x2—a

13、时,贝!Jf(2a—xQ与f(x2)的大小关系为.【答案】f(2a—xi)>f(x2)【解析】・・・y=f(x+a)为偶两数，・・・y=f(x+a)的图象关于y轴对称，・・