二次函数最值问题题型分类解法举隅(修改稿)

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1、二次函数最值问题题型分类解法举隅二次函数是中学数学最基本也是最重要的函数，是函数内容中的核心知识z—,二次函数最值问题渗透在高屮数学的各个方而，不少最值问题都可化归为二次函数的最值问题,因而历來都是高三复习和高考试题的重点与热点。二次函数最值与二次函数的开口方向、对称轴位置及所给区间有关，当三者都确定吋，结合图象最值容易求出，当三者中有不确定因素时，往往需要用配方、分类讨论与数形结合的方法。在高考复习时，对二次函数最值问题作为专题进行探讨，既可以提高学牛综合运用函数性质的能力，乂可以提高学朱自觉运川分类讨论、数形结合等数学思想方法来分析问题、解决问题的能力，促进学生的研

2、究性于习。本文结合实例，对常见的二次函数最值问题进行一些总结研究。一、图像开口方向、对称轴位置及所给区间都确定这是二次函数最值问题中最简单的类型，只要根据函数图像对称轴与所给区间的位置关系，结合两数的单调性就可解决。例1已知函数/(x)=X2+2tan-1,xg[-1,V3],,当0=--时，求函数f(x)的最6大值与最小值。7T解析：e=一一时,6/W=(x-^)2-

3、，所以“丰时，/(叽二-扌；"-1时,2^3"T"点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出：由于二次函数最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点和顶点处的函数值计算岀

4、來,通过比较人小，计算出最值。二、图像开口方向不确定，对称轴位置及所给区间确定，这类问题，函数解析式的项的系数含有参数，需要讨论此系数的正负，山于是二次函数,需注明二次项系数不为零。解题方法是先对函数式进行配方，然后根据对称轴与所给区问的位置，对二次项系数的正负进行分类。例2求函数f(x)=kx2-^-2kx+(比工0),xe[-4,3]的最值解析：/(x)=kx2+2^+1=/:(%+1)2+1-,二次函数图像的开口方向不确定，对称轴和给定的区间确定,对称轴方程为x=-l,而-1g[-4,3],所以,当£〉0时，/(%)min=/(-I)=l-k9/(x)max=/

5、(3)=1+15Z:,当kvO时,/(x)max=/(-l)=l-^,/(x)min=/(3)=1+151点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，就需要讨论开口方向向上和向下两种情况。三、图像对称轴位置不确定，开口方向及所给区间确定，二次函数f(x)=ax2+bx+c(«^0)的图像对称轴是直线%=,这类问题的2a表现形式往往是二次项系数为常数，而一次项系数含有参数。解题时需耍根据对称轴为所给区间的位置对此参数进行分类讨论。例3已知函数/(兀)=一兀(兀一。+1,求/(兀)在xe[-l,1]±的最大值和最小值.(八$厂解析：函数/(x)=-x--+—

6、+1(注意：不能由此得到最大值为—+1,因为I2丿44这里定义域不是一切实数)函数图像的对称轴为直线x=-,需要对对称轴的位置分四种情2况讨论：(1)-<-1,(2)->1,(3)-1<-<0,(4)0<-

7、合的方法，结合二次函数的图像，考虑对称轴与所给区间之间的位置关系，根据不同位置关系观察函数在所给区间上的单调性及区间端点离对称轴的远近，可得出函数最值是在顶点取得述是在区间端点取得。四、图像开口方向、对称轴位置固定，所给区间不确定由于所给区间不确定，所以在解题时仍然要根据对称轴与所给区间的位置关系进行分类讨论。例4设d为实数，函数f(x)=x2+x-a+,owR,求f(x)的最小值.+x-a+1,x>a解析：由已知/(X)彳?,对一兀+d+l，xWd1°3(1)当XCl时，f(x)=(兀—)~~CI.2113①~~2f则于⑴min=/(-㊁)二才一d；②若a>-

8、—,则f(%)min=f(a)=a2+1i3(2)为xWd时，f(兀)—(X)2HCL.I113①若a<~2'则于⑴®411=于⑷=/+1；②若a~~^'则f(X)min=/(㊁)=才+G1Q11综上所述,当a<-—时,f(x)^=——a；^-—-时，/Wmin=-+a.点评：将函数转化为分段函数，对x>a和无5。的两个区间上，根据对称轴与区间的不同位置关系，运用数形关系，结合函数单调性求出最小值，然后还需对两段函数分类讨论中a的公共部分比较其最小值的大小，从而对a的不同范围进行最小值的