自动控制原理_第4章

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1、第四章根轨迹法4.1引言系统的稳定性系统的闭环极点系统的动态性能高阶方程情形系统闭环特征方程的根下求解很困难系统参数（如开环放大倍数）的变化会引起其变化，针对每个不同参数值都求解一遍根很麻烦。1闭环极点在复系统参数的值平面内的位置一一如开环放大倍数对应关系闭环极点在复平面参数连续变化内画出相应的轨迹美国学者伊凡思（W.R.Evans）于1948年提出了根轨迹法，为系统设计和调试提供了方便。24.2根轨迹的基本概念根轨迹系统中某个参数由0变化到时，闭环极点在s平面内画出的轨迹。本章首先研究开环放大倍数从0时，闭环极点的轨迹，称为一般根轨迹。3R

2、s()Ys()Gs()-Hs()Ys()Gs()闭环传递函数：()sRs()1GsHs()()特征方程：1GsHs()()0GsHs()()1此方程的根即为闭环极点。4开环传递函数：ksz()(sz)(sz)12mGsHs()()(sp)(sp)(sp)12nzz,,,z开环零点12mpp,,,p开环极点12n特征方程写为：ksz()(sz)(sz)12m1(sp)(sp)(sp)12n5根轨迹的幅值条件（模条件）：kszszsz12mGsHs()()1spspsp12n根轨迹的相角条件（幅

3、角条件）：GsHs()()sz12szszmsp12spspn21ll0,1,2,6举例给定开环传递函数ks()z1G()()sHs(sp)(sp)(sp)(sp)1234开环零点：z1Imp开环极点：pppp,,,21234p4z1p10Rep37复平面内的试验点：ss规定逆时Im2针幅角为p2正，反之为负。114p4z1p10Re3p若成立：3GsHs()()112342l1则说明点s在根轨迹上。8然后根据根轨

4、迹的幅值条件求取相应的参数k值：由：ksz1GsHs()()1spspspps1234spspspsp得：k1234sz1反过来说，当参数k取该值时，闭环极点就是上述s点。9绘制根轨迹的主要步骤1把系统的开环传递函数写成零极点形式；2在s平面上画出开环零点和开环极点；3在s平面上找出满足幅角条件的点，再把这些点连接成根轨迹；4对于根轨迹上的一些必要的点，利用幅值条件求出它们所对应的k值，还可以进一步求出对应的开环放大倍数K的值。104.3绘制根轨迹的基本规则1根轨迹的分支数等于开环零点数目与开环极点数目中的较大者。2根轨迹是连

5、续的，并且是关于实轴对称的。3根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。114若开环极点数目n大于开环零点数目m，则当k时，有nm条根轨迹沿着nm条渐近线趋向于无穷远处。Imn3m1Re的情形12渐近线与实轴的夹角为sIm21ll0,1,2,nm0Re渐近线与实轴交点的横坐标为nmpzjiji11nm13ksz12szszmGsHs()()sp12spspnmmmm1szsiizi1i1knnnn1spsiipi

6、1i1k1nmnmnm1spiizsii1114近似处理：k1nmnmnm1spiizsii11nmnmnm1spiizskii1115sz12szszmk1sp12spspn当s时msk1ns16msk1nsnmsknmnm1snmsk近似处理：nmnm1snmsk17nmnmnm1spii

7、zskii11nmnm1snmsknmpziiii11nm185实轴右方开环零点和开环极点数目之和为奇数的线段是根轨迹；实轴右方开环零点和开环极点数目之和为偶数的线段不是根轨迹。Im0Re实轴上的根轨迹分布示意图19Imp2p5z1sp4z2p1Re0p3GsHs()()sz12sz0sp1sp2sp3sp4sp521l020【例4-1】负反馈系统的开环传递函数为kGsHs()()ss(1)(s2)绘制根轨迹的大致

8、图形。21Imrad3ppp321-2A01Re-122【例4-2】负反馈系统的开环传递函数