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1、第十章线性反馈系统的时间域综合10.1输出反馈与状态反馈10.2极点配置问题10.3状态重构与状态观测器设计10.4最优控制问题概论10.5MATLAB在线性反馈系统时间域综合中的应用小结习题10.1输出反馈与状态反馈反馈是控制系统设计的主要手段。经典控制理论采用输出作为反馈量,现代控制理论除了输出反馈外,广泛采用状态作为反馈量,这就是状态反馈。状态反馈可以提供更多的补偿信息,所以可以获得更为优良的控制性能。考虑n维线性定常系统(没有引入反馈)：(10.1)x,u,y分别为n维、p维和q维向量,A,B,C分别为n×n、n×p和q×n维的实数矩阵。1.
2、输出反馈在经典控制中,都用输出量作为反馈量。输出反馈的目的首先是使系统闭环稳定,然后在此基础上进一步改善闭环系统的性能。输出反馈的系统结构图如图10-1所示。输出反馈系统的状态空间表达式为(10.2)为方便起见,用(A-BFC,B,C)表示输出反馈系统,该系统对应的传递函数(矩阵)为(10.3)图10-1输出反馈系统结构图2.状态反馈若将系统的控制量u取为状态变量的线性函数u=r-Kx(10.4)式中,r为与u同维的参考输入向引入状态反馈后系统的状态方程和输出方程为(10.5)系统(A-BK,B,C)对应的传递函数(矩阵)为可以证明,由输出反馈和状态反馈
3、构成的闭环系统均能保持反馈引入前系统的可控性,而对于可观性不存在类似的结论,并且状态反馈不改变原传递函数的零点。(10.6)图10-2状态反馈系统结构图10.2极点配置问题系统的动态特性与系统极点在复平面上的分布密切相关。合理地配置极点的位置能获得满意的动态性能。所谓的极点配置问题,就是通过选取适当的状态反馈增益矩阵K,使闭环系统(A-BK,B,C)的极点,即A-BK的特征值恰好位于所希望的一组极点位置上。因为希望的极点具有任意性,所以极点的配置也应当做到具有任意性。事实上,经典控制理论中采用的综合法,无论是根轨迹法还是频域法,从本质上讲都是一种极点配置方法。
4、1.极点任意配置的条件单变量系统可以任意配置极点的条件可由定理10-1给出。定理10-1(极点配置定理)对于单输入、单输出系统(A,B,C),给定任意的n个极点si(i=1,2,…,n),si为实数或共轭复数。以这n个给定极点为根的多项式为那么存在1×n矩阵K,使闭环系统(A-BK,B,C)以si(i=1,2,…,n)为极点,即的充分必要条件为受控系统(A,B,C)是状态完全可控的。证明重点证明充分性。由于线性非奇异变换不改变矩阵的特征值,所以不妨设状态完全可控系统(A,B,C)的系数矩阵已经为可控标准型,即其传递函数为设状态反馈矩阵为K=［knkn-1…
5、k1］,于是有因此,闭环系统(A-BK,B,C)的传递函数为所以取K阵为就可以使即以任意给定的si(i=1,2,…,n)为极点(充分性证毕)。定理的必要性可以这样解释:如果受控系统不是状态完全可控的,那么其中必然有一些状态变量不受控制,这样企图通过控制作用来影响那些不可控的状态是不可能的。换句话说,极点如果能够任意配置,受控系统必须是完全可控的。(10.7)从以上充分性的证明可以得出如下结论:(1)如果受控系统是可控标准型,则状态反馈增益矩阵可由式(10.7)直接求出。(2)如果状态完全可控受控系统的一般形式为,经过线性非奇异变换或,可得可控标准型(A,
6、B,C),则有如下关系:从而有所以(10.8)(3)由受控系统和闭环系统的传递函数G0(s)和GK(s)的表达式可知,对状态完全可控系统引入状态反馈,任意配置极点,并不改变其零点在复平面上的位置,即在按状态反馈组成的闭环系统中,其闭环零点等同于开环零点。2.极点配置的设计步骤设单变量系统的状态空间表达式为(10.9)若采用状态反馈控制律,即(10.10)则可由如下步骤求取状态反馈增益矩阵K,使得系统(A-BK,B,C)的极点位于任意给定的一组希望极点si(i=1,2,…,n)的位置。第一步:判定受控系统(A,B,C)的可控性。如果状态完全可控,继续下一步,
7、否则,此系统不可实现极点任意配置;第二步:从矩阵A的特征多项式确定系数ai(i=1,2,…,n);第三步:求取使系统化为可控标准型的线性非奇异变换矩阵P(如果给出的受控系统已是可控标准型,则P＝I)。第四步:根据期望的极点si(i=1,2,…,n),写出期望特征多项式第五步:按照式(10.8)求取状态反馈增益矩阵。【例10-1】给定系统的传递函数为要求利用状态反馈把系统的闭环极点配置在-2,-1±j处。解由给定的传递函数可以写出系统的状态方程:由于系统具有可控标准型的形式,所以系统可控,可以任意配置闭环极点。令状态反馈增益矩阵为则经K引入状态反馈后的系统矩
8、阵为其特征多项式为
9、sI-(A-BK)
