2020高考文科数学（人教版）一轮复习作业手册 第52讲　空间角及其计算 含解析

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1、第52讲　空间角及其计算　1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与平面BDD1B1所成的角为(A)A．30°B．45°C．60°D．90°　取B1D1的中点E，连接C1E，BE，因为C1E⊥平面BDD1B1，所以∠C1BE即为所求角θ.因为sinθ＝＝，所以θ＝30°，选A.2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B)A．3B．6C．9D．18　棱锥的底面对角线长为2×2cos60°＝2，高为2sin60°＝3，设底面边长为a，则a＝2，所以a＝，所以底面面积为a2＝6，所以其体积V＝×6×3＝6，所以选B.3．已

2、知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，若AB＝12，则A′B′＝(B)A．4B．6C．8D．9　连接AB′，设AB＝a，可得AB与平面α所成的角为∠BAB′＝，在Rt△BAB′中，有AB′＝a.同理可得AB与平面β所成的角为∠ABA′＝，所以A′A＝a.因此在Rt△AA′B′中，A′B′＝＝a，因为AB＝12，所以A′B′＝6，故选B.

3、5．长为2a的线段AB在平面α内的射影线段A1B1的长为a，则直线AB与平面α所成的角的大小为　60°　.　设直线AB与平面α所成的角为θ，则cosθ＝＝，则θ＝60°.6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于　　.　如图，O为底面正△ABC的中心，则OP⊥平面ABC，∠PCO即为所求角，设AB＝1，则PC＝2，OC＝，所以cos∠PCO＝＝.7．(2018·天津卷)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)

4、求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．　(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝.在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝＝.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)如

5、图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝.又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝＝4.在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.8．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为(C)A.B.C.D.　取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MNB1C1BD

6、，因此NDBM，则ND与NA所成的角即为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此，cos∠AND＝＝.9．已知正四面体A－BCD的棱长为a.(1)AC与平面BCD所成角的余弦值为　　；(2)二面角A－BD－C的平面角的余弦值为　　.　设A在底面BCD上的射影为O，连接OA，连接OC并延长与BD相交于E，连接AE.(1)因为AO⊥平面BCD，所以∠ACO就是AC与平面BCD所成的角．因为△BCD是正三角形，所以O是△BCD的中心．在Rt△AOC中，OC＝×a＝a，所以cos∠ACO＝＝.所以AC与平面BCD所成角的余弦值为

7、.(2)因为四面体A－BCD为正四面体，所以△BCD和△ABD都为正三角形，所以OE⊥BD且AE⊥BD，所以∠AEO为二面角A－BD－C的平面角，所以OE＝×a＝，AE＝a，所以cos∠AEO＝＝.所以二面角A－BD－C的平面角的余弦值为.10．如图，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，且PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面BED⊥平面ABCD；(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值；(3)求二面角D－PA－B的平面角的余弦值．　(1)证明：设AC交BD于O，连接OE，因为O是AC的中点，E是PA的中点，所以OE∥PC，

8、又PC⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，因为OE⊂平面BED