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1、课下层级训练(二十六) 平面向量的数量积及应用举例[A级 基础强化训练]1.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为( )A.- B.-3 C. D.3C [因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为
2、
3、cos〈,〉===.]2.设向量a,b满足
4、a+b
5、=,
6、a-b
7、=,则a·b=( )A.1B.2C.3D.5A [由条件可得,(a+b)2=10,(a-b)2=6,两式相减得4a·b=4,所以a·b=1.]3.已知向量a=(,1),b=(0,1),c=(k,),若a+2b
8、与c垂直,则k=( )A.-3B.-2C.1D.-1A [因为a+2b与c垂直,所以(a+2b)·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-3.]4.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=( )A.-2B.-1C.1D.2D [∵a=(1,2),b=(4,2),∴c=ma+b=(m+4,2m+2),
9、a
10、=,
11、b
12、=2,∴a·c=5m+8,b·c=8m+20.∵c与a的夹角等于c与b的夹角,∴=,∴=,解得m=2.]5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点E是
13、椭圆C上的动点,则·的最大值、最小值分别为( )A.9,7B.8,7C.9,8D.17,8B [由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0),设E(x,y)(-3≤x≤3),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·=x2-1+y2=x2-1+8-x2=+7,所以当x=0时,·有最小值7,当x=±3时,·有最大值8.]6.(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(m,1),b=(1,2),且
14、a+b
15、2=
16、a
17、2+
18、b
19、2,则m=__________.-2 [∵
20、a+b
21、2=
22、a
23、2+
24、b
25、2+2a·b=
26、a
27、2+
28、b
29、2,∴a·b=0
30、.又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.]7.(2018·安徽合肥检测)若非零向量a,b满足
31、a
32、=1,
33、b
34、=2,且(a+b)⊥(3a-b),则a与b夹角的余弦值为__________. [由(a+b)⊥(3a-b)可得(a+b)·(3a-b)=0,又
35、a
36、=1,
37、b
38、=2,则可得a·b=,设a,b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cosθ==.]8.已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的中点,则·+·=__________.4 [由题意可建立如图所示的坐标系.可得A(2,0),B(0,2),P(1,1
39、),C(0,0),则·+·=(1,1)·(0,2)+(1,1)·(2,0)=2+2=4.]9.已知
40、a
41、=4,
42、b
43、=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①
44、a+b
45、,②
46、4a-2b
47、;(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).解 由已知得,a·b=4×8×=-16.(1)①∵
48、a+b
49、2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴
50、a+b
51、=4.②∵
52、4a-2b
53、2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,∴
54、4a-2b
55、=16.(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0
56、,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0,∴k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.10.已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解 (1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cosx,si
57、nx)·(3,-)=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤,于是,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值-2.[B级 能力提升训练]11.设a,b为单位向量,且a⊥b,若向量c满足
58、c-(a+b)
59、=
60、a-b
61、,则
62、c
63、的最大值是( )A.2B.2C.D.1A [由题意结合a⊥b,可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则由
64、c-(a+b)
65、=
66、a-b
67、,得
68、(x,y)-(1,1)
69、=
70、(1,-1)
71、,由此可得(x-1)2+(y-1)2=2,即c对应的点的轨迹
72、在以(1,1)为圆心的圆