北师大版2020版新一线高考文科数学一轮复习课后限时集训26平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析

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1、课后限时集训(二十六)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)A．－　　　　B．0　　　　C．　　　　D．3A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．(2019·合肥模拟)已知不共线的两个向量a，b满足

2、a－b

3、＝2且a⊥(a－2b)，则

4、b

5、＝(　　)A．B．2C．2D．4B　[由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)＝

6、a

7、2－2a·b＝0.又∵

8、a－b

9、＝2，∴

10、a－b

11、2＝

12、a

13、2－2a·b＋

14、b

15、2＝4，则

16、b

17、2＝4，

18、b

19、＝2，故选B.]3．(2019·昆明模拟)已知平行四

20、边形OABC中，O为坐标原点，A(2,2)，C(1，－2)，则·＝(　　)A．－6B．－3C．3D．6B　[＝(2,2)，＝(1，－2)，则＝＋＝(3,0)，又＝(－1，－4)，所以·＝3×(－1)＋0×(－4)＝－3.故选B.]4．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1，2)，D(1,5)，则向量在方向上的投影为(　　)A．B．－C．D．－D　[∵＝(－1,1)，＝(3,2)，∴在方向上的投影为

21、

22、cos〈，〉＝＝＝＝－.故选D.]5．已知非零向量a，b满足

23、b

24、＝4

25、a

26、，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)A．B．C．D．C　[∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)

27、＝0，∴2

28、a

29、2＋a·b＝0，即2

30、a

31、2＋

32、a

33、

34、b

35、cos〈a，b〉＝0.∵

36、b

37、＝4

38、a

39、，∴2

40、a

41、2＋4

42、a

43、2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－，∵0≤〈a，b〉≤π.∴〈a，b〉＝.]二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a⊥b，则x＝________.－　[∵a⊥b，∴a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，∴x＝－.]7．已知a＝，b＝，则

44、a－b

45、＝________.　[由题意知

46、a

47、＝

48、b

49、＝1，a·b＝coscos＋sinsinπ＝cos＝cos＝－.所以

50、a－b

51、2＝a2－2a·b＋

52、b

53、2＝2＋2×＝3，即

54、

55、a－b

56、＝.]8．已知锐角三角形ABC中，

57、

58、＝4，

59、

60、＝1，△ABC的面积为，则·＝________.2　[由S△ABC＝

61、

62、

63、

64、sinA＝得sinA＝，又A∈，则A＝，故·＝

65、

66、

67、

68、cosA＝4×1×＝2.]三、解答题9．已知

69、a

70、＝4，

71、b

72、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求

73、a＋b

74、；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．[解]　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4

75、a

76、2－4a·b－3

77、b

78、2＝61.又因为

79、a

80、＝4，

81、b

82、＝3，所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所

83、以θ＝.(2)

84、a＋b

85、2＝(a＋b)2＝

86、a

87、2＋2a·b＋

88、b

89、2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以

90、a＋b

91、＝.(3)因为与的夹角θ＝，所以∠ABC＝π－＝.又因为

92、

93、＝

94、a

95、＝4，

96、

97、＝

98、b

99、＝3，所以S△ABC＝

100、

101、·

102、

103、sin∠ABC＝×4×3×＝3.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．[解]　(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，化简得co

104、sA＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，c＝－7(舍去)，故向量在方向上的投影为

105、

106、cosB＝ccosB＝1×＝.B组　能力提升1．(2019·黄冈模拟)已知＝(cos23°，cos67°)，＝(2cos68°，2cos22°)，则△ABC的面积为(　　)A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.D　[因为＝(cos23°，sin23°)，＝(2sin22°，2cos22°)，所以cos〈，〉＝＝sin45°＝.所以与的夹角为

107、45°，故∠ABC＝135°.所以S△ABC＝

108、

109、

110、

111、sin135°＝×1×2×＝，故选D.]2．(2019·太原模拟)向量a，b满足

112、a＋b

113、＝2

114、a

115、，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)A．0B．C．D．B　[(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，

116、a＋b

117、＝2

118、a

119、⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.]3．已知点O为△ABC的外心，且

120、

121、＝4，

122、

123、＝2，则·＝________.6　[