关于圆锥曲线的问题整合

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1、关于圆锥曲线的问题整合圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的扌既念和性质，包括曲线的标准方程及基本量，几何性质的应用。其中双曲线和抛物线是A级要求，试题多为填空题；椭圆为B级要求，填空题、解答题均会出现，解答题一般同直线与圆的有关知识综合考查。题型一圆锥曲线的基本定义及统一定义例1【2014•南通一模，4】在平而直角处标系xO.y屮，抛物线y2=8x上横坐标为1的点到其焦点的距离为.一般地，知道关于点的坐标的信息很容易想到利用两点间的距离公式计算。但题干中指出“到焦点的距离”，结合抛物线的定义：到定点的距离等于到定直线的距离，写出准线方程后即可得出答案。答案:3x2y2例2

2、【2010•江苏，6】在平而总角处标系xOy中，双曲线——二=1上一点M,点M412的横坐标是3,则M到双曲线右焦点的距离是.答案：4同样地，知道关于点的坐标的信息想到利用两点间的距离公式计算，但明确要求“到双曲线右焦点的距离”，可结合圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为定值，写出双曲线的右准线方程便能快速地得出答案。特别注意，椭圆、双曲线在利用统一定义时注意焦点与准线的对应。22例3【2015•苏锡常镇二模，6］已知双曲线二一=l（d,b〉0）的离心率等于2,它的cr焦点到渐近线的距离等于1,贝IJ该双Illi线的方程为.本题根据点到直线的距离可得

3、出b=l,结合离心率等于2得出b2=3aa2=-即可。3答案：3x2-y2=l注意的是，题目设问是“双曲线的方程”，则可以写成上述形式，如问的是标准方程，则必须写成分式形式。题型二圆锥曲线的几何性质及应用22例4【2015•扬州期末，9］已知双曲线C：二—=l（a>0,b〉0）的一条渐近线与直b线兀+能y=0垂直，且C的一个焦点到/的距离为2,则C的标准方程为.渐近线y=±-x是双曲线的一个特征，其斜率的绝对值即a与方的关系，题中根据垂直关a系可得出渐近线的斜率进而求出G与b的关系，再利用点到直线的距离公式可求出b的值。答案:22例5【2015•泰州期末，1（）】双

4、曲线斗-斗=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点ab~距离的一半，则双曲线的离心率0=离心率是圆锥曲线的重要性质，圆锥曲线的统一定义中的定值即为离心率。本题根据题干叙述建立方程即可求解X知椭圆a~答案€=Ka>b>0)的左、右焦点分别为F,(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在一点P使得=——侧椭鬪离心率的取值范围是•sinZPF}F2sin离心率的取值范围问题的关键在于建立不等关系，需结合具体图形进行解签。题设条件中既有边又有角，根据正弦定理可得理二£,再由椭圆的定义将戶片(PF.)用°与。表示，PF、a一根据图形得出a-c

5、(72-1,1)注：题中运用正弦定理的前提条件是三边能构成三角形，不等式取等号时构不成三角形，故不取等号。题型三直线与圆锥曲线的综合问题%2v2例7[2015•苏州期末，18】如图，已知椭圆C：—+—=1,点124B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另一点43点在兀轴下方)，且线段AB的中点E在直线y=兀上.(1)求直线43的方程；(2)若点P为椭圆C上界于A、B的动点，且直线AP,BP分别交直线『=兀于点M、N,证明：OMOW为定值.答案：(1)AB:兀+3y+6=0；(2)OMON=6第(1)问可设点A的坐标为(观，儿)，根据E为中点写出E点坐标代入直线后可得心与儿

6、的关系，再代入椭圆求出A点、坐标，结合B点坐标写出直线方程。第(2)问求长度乘积为定值，求出M、N两点坐标是必要的。一种思路是直接设M、N两点坐标分别为(XpXj)、(x2,x2)与P点坐标(心儿)，根据三点共线将M.N两点坐标用兀。、表示后再去进行化简。一种思路是设AP直线方程再与直线y=x联立求出M点坐标，同理可求W点坐标再进行化简。该做法比较欠妥，涉及到直线斜率存在与否的讨论，很容易忽视斜率不存在的情况而导致丢分。鄙人尝试过该做法，答案虽然无误，但要比第一种思路耗时。例8【2015•南京、盐城二模，18】如图，在平而直角坐标系兀Oy22氏屮，椭圆E：—+厶~=l（

7、d>b>0）的禺心率为，直线/：atr2y=-x与椭圆E相交于A,B两点，AB=2逅,C,D是椭圆E2上异于A,B两点,且直线AC,BD相交于点M,直线AD,BC相交于点N.（1）求的值；（2）求证：直线MN的斜率为定值。答案：（1）a-y/6,b=V3（2）kMN=-1第（1）问根据离心率可得出a与b的关系；可根据直线/过原点设A.B两点坐标，由两点间距离公式解出A点坐标，后代入椭圆即可。第（2）问证明斜率为定值，势必要得出A/、N两点坐标。如采用点的坐标求解，还需设CD两点坐标，这样一下子弄出了8个变量，无法求解。所以本题设直线方程去