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《《微积分教学资料》83一阶线性微分方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.求下列微分方程的通解：⑴y二厂；【解法一】应用常数变易法，这是一阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程才+y=0为可分离变量的,分离变量得丄dy=-dx,积分得lny=-x+c,整理得y二q厂，y于是设方程y'+y=e~x的解为y=c(x)e~x,将y-c(x)e~x代入方程y'+y=e~x,得cx)e~x-c(x)e~x+c(x)e~x=e~x,即为c'(x)=l,积分得c(x)=x+c,可得方程才+y二厂的解为y=(兀+c)厂。【解法二】应用公式：方程y'+#(x)y=g(x)的解为=eI/AaMa[Jq(x)e^P(A)d
2、xdx+c],由方程y'+^=e~x得p(x)=1,q(x)=e~x,于是p{x)dx=^dx=x+q,jq{x)e^p{x}dxdx=Je~xexdx即得方程y'+y=e~x的解为『"⑴办c/x+c]=e~x(x+c)。(2)4-y=x2+3x4-2；【解法一】应用常数变易法，1?这是一阶非齐次线性微分方程，化为标准形得y4—)=兀+3+—，其对应的齐次方程才+丄y=0为可分离变量的，X分离变量得丄dy二一丄必，积分得lnj=-lnx+lnc,整理得yxx12c(x}于是设方程才+丄y=x+3+土的解为y二竺，XXX将y=()代入方
3、程y'—y=x+3—,XXX丿冃cx)c(x)1c(x)c2得一一一+—一=无十3十一，xXXXi3即为c'(兀)=x2+3x+2,积分得c(x)=-x3+—x2+2%+c,12可得方程才+—y=兀+3+—的解为xx1/1332c123Cy=—(—x+—x+2x+c)=—xH—兀+2—ox3232x【解法二】应用公式：方程y'4-p(x)y=q(x)的解为y=e121?由力程—y=x+3—得——,q(兀)=兀+3—,XXXX于是Jp(x)dx=—6k=In兀+q,^q{x)e^P<)dlx加皿肠(兀)』皿必+C],J(兀+3+二
4、)=j(x2+3兀+2)必1332,_,——Xd—x+2x+,32-12可得方程才+—y=x+3+—的解为Xxy=£一"“"[Jq{x)^P{x'心dx+c]=e~]nx(gx34-x24-2x4-c)1.1332、123-c=—(—xH—x+2x+c)=—兀厶—兀+2—oX3232X⑶(F+1)才+2xy=4x2；【解法一】应用常数变易法，2x4x2这是-阶非齐次线性微分方程，化为标准形得其对应的9Y12尢分离变量得严一片必齐次方程才+市二y=0为可分离变量的,兀〜+1积分得ln3'=-lnx2+l+lnc,整理得qx2+l4兀2X
5、2+1的解为y=-^-+12r于是设方程才二兀~+1将)u心)x2+l代入方程V+2xx2+l4%2x2+lc(x)c(x)2x2xc(x)_4x2fx2+l(x2+1)2+X2+1x2+1%2+1即为Cx)=4x积分得c(x)=-^3+c,JA2+cA可得方程才+吕〉，=亠的解为丁=斗_^=(戏+c)。x+1x+1x+1x+13【解法二】应用公式：方程y'+#(x)y=q(x)的解为y=£"⑴”打讥劝丿”皿心丫+可,.Trtf2x4x2“、2x/、由方T+齐尸齐得卩心齐’能)4x2x2+1于是jp(x)dx=JI]力=ln(x2
6、+l)+q,jg(x)J""""心=^eltt{x+l)cbc=J4兀加-x3+c2,32r4%2可得方程才+-Ay=的解为厂+1JT+1y=e'k/'[jq(x)e^P(K)(hdx+c]=e~ln(v+l)(—x3+c)=—(—x3+c)。3xI13/八11—2x(4)y+—y=1；x【解法一】应用常数变易法,1_2r这是一阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程卩+「送y=0为可分离变JT量的,2]分离变量得—dy=()dx,积分得Inlyyxx(21n兀+丄)+q,整理得Xy=cx2ex1_2rc丄于是设方程y•+——y=1的解
7、为y=c(x)x2ex,X11_2r将y=C(x)x2ex代入方程y‘+—y=1，兀一r丄丄c丄一11—2r得cx)x1ex+c(x)2xex+c(x)x2ex—+“rc(x)x2ex=1,丄_丄即为cx)=—ex,积分得c(x)-ex+c,1_2r——__可得方程才+—y=的解为y=(ex+c)x2ex=(1+cK)F。【解法二】应用公式：方程y1+pMy=q(x)的解为y=e1—9jr1—9Y由方程卩+丄丰〉，=1得#(兀)==±,讥兀)=1，XJT于是fp{x)dx-f-―学dx-[(丄-？)必=-21nx+q,JJx~J
8、xxx阳叶心1・严二r1亠」dx=—eXdx=ex+c°Jjt1-?r可得方程才十—y=1的解为兀-y-e~^P{xUixf⑴"加+c]=e^+^ex+c]=x2(l+c^r)。(5)yInydx+(x-lny)dy
