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1、1.曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程。剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A(0,16)不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。正确解法：设切点坐标Mg,兀3兀°),贝I］切线的斜率k=fx0)=3x^-3,切线方程j=(3x02-3)x-16,又因为点M在切线上，所以Xq-3x0=3(^02-3)^0+16得x0=-2,.・・切线方程为y=9尢+16.2.:设P°(xo,yo)为曲线C:y=x3(x>0)±任意一点，过P。作曲线C的切线与x轴交于Q,
2、过Qi作平行于y轴的直线与曲线C交于P,(X,,yJ,然后再过P,作曲线C的切线交x轴于02,过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(X2,y2),依此类推，作出以下各点：P。，Q-%Qa,P2,Q3,…，Pn,Qn+1,…，已知Xo=9,设Pn(Xn,g(flWN)。(D求出过点P。的切线方程。(2)设Xn=f(n)(neN),求f(n)的表达式；(3)求lima。+曲+•••+£)的值。解析⑴y，3xlVP0(9,93),・•・切线P©的斜率k0=y*
3、x=Xn=3x2
4、x=9=243,・••过P。点的切线即直线P©的方程为y—9'二243(x-9),即
5、243x-y-1458=0.(2)过Pn(Xn,*)的切线的斜率为kn=3x^,切线方程为丫一(X—Xn),即y—x带=3x珀(X—xn).令y=0得Y329X=Xn——^=—X,即Qn+1的横坐标为—Xn,3尤3322又•・•直线Qn+F十〃y轴，・・・P+的横坐标Xn+产一Xn,由于X。二9,二数列｛占｝是公比为一222的等比数列/.Xn=xo•(-)n=9X(-)n,则f(n)=9X(-)n,(nGN)3339(3)lim(Xo+兀］+•・•+£)=二2721--33•设抛物线y二/与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别
6、为A,A,求值a变化时人与/2交点的轨迹。解答:将y=x+a代入y二x?整数得x2—x—a=0为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△二(一1)2+力>0,所以a>—丄4为y=2ax—a2,y=2［3x—(32._Q+0两切线交点为(x,y)则兀二―厂y-ap因为a,B是①的解，由违达定理可知a+(3=1,a(3=—a由此及②可得x二丄，y二一X丄24从而，所求的轨迹为直线x二丄上的yV丄的部分。244•已知函数f(x)=竺土1在(一2,+oo)内单调递减，求实数a的取值范围。x+22(7-1误解：f'(X)二,由f(x)在(一2,+oo)内单调递减，知f'(
7、x)W0在xe(-2,(兀+2)2+8)内恒立，即2dTWo在xe(-2,+8)内恒立。因此，aW丄。(兀+2)22剖析:(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证(x)是否恒为零。因为f(X)在区间D上单调递增(或递减)的充要条件f气x)MO(f'(x))W0且F(x)在任一子区间上不恒为零。而当圧丄时，f(x)二丄不是单调递减函数，不合题意。22(2)在区间D内可导数f(x),利用导数判别f(x)单调性法则为：若xWD时，有F(x)>0«0=,则f(x)在D内是增(减)函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，贝IJxWD时，恒有f'(x)$
8、O(WO)。(不恒为0)(3)再由函数的单调性过渡到函数的极值，由［错例2］到［错例3］5•函数f(x)二(x2-1)3+2的极值点是()A、x=2B、x二一1C、x二1或一1或0D、x二0误解:f(x)=x6—3x4+3x2+1,则由f'(x)=6x5—12x34-6x=0得极值点为xh,x二一1和x二0,故正确答案为C.正确解法：事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由F(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x—1)2知，当xG(―°°,—1)时，fz(x)<0;当xE(―1,0)时，fz(x)<0；当xW(0,1),f'(x)>0；当xe
9、(1,+oo)时，厂仗)>0.f(x)在(一8,—1)、(-1,0)单调递增，在(0,1)、(1,+oo)单调递减。则x二0为极小值点，x二一1或1都不是极值点(称为拐点）。故应选D。剖析：（1）满足f'（xo）=O的点X=Xo（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。21,（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f（x）二0--疋的极值3点。（x二±1,0（易遗漏））6.在1与2之间插入n个正数勺+乞+仇+...+仇，使这n+2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数勺爼…也，使这
10、个n+2个数成等差数列。记A"q・偽•
