1.9整值函数的整除性

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1、实用标准文档§1.9整值函数的整除性所谓整值函数，是指当自变量取任意整数时，函数值也都是整数的函数。例如，fn=n2-6,f(n)=n(n+1)(32n+1+1)F(a,b)=a2-b2都是整值函数。本节将讨论整值函数被整数整除的问题。我们将分别举例介绍分类、公式、贾宪数、递推四种方法。一、分类法一般根据除数（或除数的约数）来对整值函数的自变量进行分类。例1若p和p+2均为大于3的质数，求证：6

2、(p+1).证明：因为p为大于3的质数，这样的数被6除可分成两类，即6n±1(n∈N*)若p=6n+1,则p+2=6n+3=3(2n+1),不是质数，所以p=6n-1,

3、所以p+2=6n+1,此时p+1=6n,所以6

4、（p+1）.例2设a,b均为整数，且a,b都不能被2,3整除。求证：24

5、（a2-b2）.分析要证24

6、（a2-b2），只要判定a2，b2被24除所得余数相同即可。文案大全实用标准文档证明：设a=24q+r(0≤r<24),由于a不能被2整除，也不能被3整除，故r只能取1,5,7,11,13,17,19,23，即a可表示为：24q+1,24q+5,24q+7,24q+11,24q+13,24q+17,24q+19,24q+23,无论出现哪一种情况a2被24除余数都是1.同理可得，b2被24除余数也是1.所以a2-b

7、2被24除余数是0，即24

8、（a2-b2）.例1a,b均为整数，若7

9、(a2+b2),求证：7

10、a且7

11、b.分析要证7

12、a且7

13、b,只要判定a与b被7除后的余数均为0即可，为此，将a与b写成带余除法表达式，按照余数的具体取之情况分别讨论.证明：设a=7m+α，b=7n+β,α≥0,β<7,可知α,β取值0,1,2,3,4,5,6.因为a2+b2=49(m2+n2)+14(αm+βm)+α2+β2所以7

14、(a2+b2)Ûα2+β2,但α2和β2只能取0,1,4,9,16,25,36.α2+β2取值如表所列：α2+β2α2β201491625360014916253

15、6112510172637文案大全实用标准文档44581320294099101318253445161617202532415225252629344150613636374045526172从表中可知，当且仅当α=0，β=0时才有α2+β2被7整除.此时a=7m且b=7n,所以7

16、a且7

17、b成立.例2例3例4二、公式法这里的公式主要指对证明整除问题有重要价值的下列三个公式：1.若n为正整数，则an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+⋯+abn-2+bn-1)2.若n为正偶数，则an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-⋯

18、+abn-2-bn-1)3.若n为正奇数，则an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-⋯-abn-2+bn-1)文案大全实用标准文档例3若n∈Z,求证：73

19、f(n)=8n+2+92n+1.证明：因为f(n)=64×8n+9×81n=(64×8n+9×8n)+(9×81n-9×8n)=73×8n+9(81n-8n),由公式可知73

20、（81n-8n)，所以73

21、f(n)=8n+2+92n+1.例4当n为正奇数时，求证：60

22、f(n)=6n-3n-2n-1.分析60=3×4×5，而3,4,5两两互质，所以只需证2,4,5均整除f(n).证明：f(n

23、)=6n-3n-2n-1=6n-3n-（2n+1）因为n为正奇数，所以3

24、（6n-3n），3

25、2n+1，从而3

26、f(n).同理4

27、f(n)，5

28、f(n).因为3,4,5两两互质，所以60

29、f(n)=6n-3n-2n-1.例5求证：n2

30、[(n+1)n-1].证明：因为(n+1)n=nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+⋯+Cnn-1n+1=nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+⋯+n2+1,文案大全实用标准文档所以(n+1)n-1=nn+Cn1nn-1+Cn2nn-2+⋯+n2，于是n2

31、[(n+1)n-1].例1设n为非负整数，求证:f(n)=52n+1+2n

32、+4+2n+1被23整除。例2例3例4例5三、贾宪数法形如nn-1n-2⋯(n-r+1)r!(n∈Z,r∈N)的数叫做贾宪数。易见：1.贾宪数是r个连续整数之积nn-1n-2⋯(n-r+1)被r!除所得的商数。2.当n∈N且0≤r≤n时，贾宪数就是组合数，即它是组合数的推广。文案大全实用标准文档定理1贾宪数是整数。证明：（1）当n∈N且0≤r≤n时，贾宪数就是组合数，由组合数的意义可知，贾宪数是整数；当n∈N且n

33、数等于0.（2）当n<0