概率论与数理统计教案lessonplan10：6.1点估计的几种方法1

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1、§6.1点估计的几种方法（1）一、教学目标：1、理解矩法估计的思想；2、掌握矩法估计的步骤。二、教学重点：矩法估计。三、教学难点：矩法估计。四、教学准备：课件五、教学过程：统计推断，就是由样本推断总体，是统计学的核心内容.统计推断可以归结为的两个基本问题：统计估计和统计假设检验.统计推断的内容极为丰富，其应用领域非常广泛，所要解决的问题多种多样，其方法繁多……但是，这一切都离不开统计估计和统计假设检验•统计推断的原理，统计推断的不同的分支、应用和方法，都是围绕着估计问题与假设检验问题建立和展开的.这一章讲统计估计的基本原理和方

2、法，下一章讲假设检验的基本原理和方法.统计估计，就是根据样本估计总体的分布及其各种特征，分为参数估计和非参数估计，以及点估计和区间估计.这一章讲参数估计的基本概念和未知参数的估计的一般方法，最后讲正态总体的参数估计点估计和区间估计。（介绍本章内容）（-）参数估计问题这里所指的参数是指如下三类未知参数：1、类型已知的分布中所含的未知参数如二点分布b（l,p）中的概率p；正态分布N（“,k）中的“和k；2、分布中所含的未知参数&的函数：如正态分布）的变量X不超过给定值g的概率P（X

3、布的各种特征数也都是未知参数，如均值EX,方差分布中位数等等。一般场合，常用0表示参数，参数&所有可能取值的集合称为参数空间，记为G）。参数估计问题就是根据样本对上述各种参数做出估计。（二）概率函数总体X的概率函数p（x^）是指：当X为离散型总体时，/X兀&）就是总体的分布列；当x为连续性总体时，就是总体的密度函数。（三）参数估计形式分为点估计与区间估计。设兀],花,・・・,£是來自总体的样本，我们用一个统计量&=&（•¥[,・••,£）的取值作为&的A估计值，&称为0的点估计量，简称估计。若给出参数&的估计是一个随机区间（@

4、,祈，使这个区I'可@2）包含参数真值的概率大到一定程度，此时称（g,祈为参数&的区间估计。（四）矩法估计1、替换原理及矩法估计用样本矩去替换总体矩（矩可以是原点矩也可以是中心矩），用样本矩的函数去替换总体矩的函数，这就是替换原理。用替换原理得到的未知参数的估计量称为矩法估计。注：矩法估计适用于总体分布形式未知场合，因此只要知道总体相应的矩即可，而不必知道其具体分布。2、概率函数P^e）已知时未知参数的矩法估计设总体的概率函数p（x；&「•••，,（仇,…,q）go是未知参数，坷,兀2,…,X”是总体X的样本，若EX*存在，则

5、fj

6、l,2,・・・,k；入'1吕・⑶令&（Q],・・・4）J=12・・・K，其中q・=一工对J=12…（4）若〃=g（q,・・・,q）,则/=g（&,…,玄）为〃的矩估计量。例6丄2设总体为指数分布，其密度函数为卩（兀;2）="一巴兀>0,和兀2，•••，£为样本，2>0为未知参数，求2的矩估计。11A1—,/•A=—,/•X-—为久的矩估计°甘也为2的矩估注•・•X〜砂仇）,・・・VarX=A才2—计。因此矩估计不唯一，此时，尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。例6丄3设总体X〜U[a.h],兀1，兀2,…，兀"为样本，求d"的矩

7、估计。2解・・・X〜U[d,b],・・・EX=^~,V“X=（b_d）212a=EX-y]3VarXb=EX+』3VarXEX=SVarX=近泌得12a=x-羽s所以⑦方的矩估计为｛入_b=x+J3s课堂练习1：设总体X的数学期望和方差为EX’xp加丄同I2丿,DX二”_l）exp{2“2?},求未知参数（“Q?）的矩估计量.解：分别用样本均值乂和二阶中心矩（未修正样本方差）S：估计EX和DX，得“和庆的联立方程组:X=exp“+S（j=（e°"一1）exp{2“+cr2}关于"和”2解方程组:lnX=/z+—cr2,ln

8、X2=2//4-ct2,InS：=ln(ea?一1)+2“+*=ln(#-1)4-InX2；11_