函数概念的学与教(1)

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1、函数概念的学与教(1)人民教育出版社章建跃函数是中学数学的核心内容。从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。例如：　　代数式2a2＋3a－1，可以看成是函数y＝2x2＋3x－1在x＝a时的值；　　方程f(x)＝0的根可以看成是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标；　　不等式f(x)＞0的解可以看成是函数y＝f(x)的图像上位于x轴上方部分的点的横坐标集合；　　等比数列1，2，4，8，…

2、是函数y＝2x（x＝1，2，3，…）的另一种表示；等等。　　函数性质在等式或不等式的求解、证明中往往是非常有力的工具，例如　　证明： ，只要令函数 中的x＝1即可。　　又如：已知a＞b，那么， 成立的充要条件是（ ）。　　(A)a＞b＞0 (B)b＜a＜0 (C)a＞0＞b  (D)0＜b＜a＜1。　　引进函数 ，此函数在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数。易知，当条件A、B或D之一成立时，均有 ，当且仅当C成立时，有 。所以选C。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具

3、。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。一、函数概念学习困难的原因分析教学实践表明，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而有循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。造成困难的原因主要有两个方面。1．函数概念本身的原因。数学发展史表明，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程。这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换。

4、在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维。与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高。认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。另外，从函数概念本身看，以下特点会造成学生理解上的困难。（1）“变量”概念的复杂性和辩证性。函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的

5、量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异。从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性（例如，“牛吃草”中的变量“牛”与“学生吃饭”中的变量“学生”是不可替代的）。但数学中的“变量”具有形式的可替代性，即y＝f(x)与x＝f(y)并没有本质上的不同，而且它既有可变性又有确定性，它可以很好地反映静止与变化、量变与质变、内容与形式等的辩证关系，因此，变量概念的形成是辩证法在数学中运用的典范。

6、（2）函数概念表示方式的多样性。函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准。（3）函数符号的抽象性。y＝f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字面上是看

7、不出的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x（或y）来想象定义域（或值域）到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。2．学生思维发展水平方面的原因。心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。本质属性越多、越鲜明，概念形成越容易；非本质属性越多、越明显，概念形成越难。对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辩