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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案3.1.1不定积分的概念与积分公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.1.1不定积分的概念与积分公式教学目标：(1)理解原函数与不定积分的概念，不定积分的几何意义;(2)掌握不定积分的基木积分公式、运算法则；(3)学会用直接积分法计算函数的不定积分。教学重点：(1)不定积分的概念；(2)用直接积分法计算函数的不定积分。教学难点：对不定积分的儿何意义的理解。授课时数：3课吋教学过程过程备注介绍本章学习的主要内容。教师讲授5，问题一辆火车以48m/s的速度匀速行驶.当启动刹车系统时，火车以固定的减速度-6m/s2停卜"•设火车在启动刹车系统/秒后的速度和位移分别为v(m/s)和$(m),需要
2、解决的问题是：如何用/表示”和“我们知道,若已知位移函数s=s⑴,则可得到物体运动的速度函数V=st):同样若已知物体运动的速度函数V=V(r),可得到物体运动的加速度函数G=.现在要解决的问题•上述过程刚好相反，即(1)已知速度函数的导数6/=/(/)=-6,求速度函数叩)；(2)已知位移函数的导数st)=v(r),求速度函数的).这是求导数的逆运算问题，是积分学的基本概念之一.教师讲授与学生回答相结合10，1.原函数与不定积分的概念新知识上面两个问题实质上都是在满足函数FXx)=/(x)的情况下如何求原来函数的问题
3、，由此，抽象出原函数的概念.如果在区间/上，函数F(x)与f(x)满足Fx)=/(x),则称函数F(兀)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.教师讲授15'知识巩固例1求函数f(x)=2x的原函数.解因为(x2r=2x,所以兀$是2兀的一个原函数；因为(x2+iy=2x，所以x2+l是2兀的一个原函数；因为(%2+C/=2x(C是任意常数)，所以对于任意常数C,F+C都是2兀的原函数.由例1不难得出：(1)函数/(兀)的原函数有无穷多个；教师讲授25,(2)函数/(兀)的两个原函数之间只相差一个常数；(3)若函数F(x)
4、为函数/(x)的一个原函数，则F(x)+C(C是任意常数)表示/(x)的全部原函数.新知识函数/(力在区间/上的全部原函数F(x)+C(C为任意常数)称为/(兀)在区间/上的不定积分，记作：J/(x)cU,即J/(兀)dr=F(x)+C.(3.1)其屮符号J称为不定积分号，/(兀)称为被积函数，/(兀)血称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数.知识巩固例2求下列各不定积分(1)Jcosxdx；(2)J3x2dx.解⑴因为(sinxy=cosx,所以sin兀是cos兀的一个原函数，因此sinx+C.⑵因为(x3y=3
5、x2,所以»是3/的一个原函数，因此13x2dv=x3+C./JJLLLL,做一做(1)已知jf(x)dx=2>/x+C,求f(x)；(2)求不定积分J】1心•由不定积分的概念知，函数的不定积分与导数(或微分)互为逆运算，即(1)[J/(x)dx]=/(x)或d[j/(x)dx]=f(x)dx.⑵ffx)dx=/(x)+C或fdf(x)=f=f(x)+C.2.不定积分的几何意义由j2x6.x=x2+C知，y=+C是2兀的全部原函数.因为y=x2+c的图像可以由抛物线尸/沿y轴移动IC
6、个单位得到，所以)y/+c的图像是一
7、族抛物线(如图3-1所示)，并且每条抛物线上横坐标相同点处切线的斜率相等，都等于2兀.教师讲授30，在教师引领下共同完成40/在教师引领下完成55，教师讲授6(r结合图像动画演示70，教师讲授80，若F(劝是/(x)的一个原函数，则称y=F(x)的图形是/⑴的积分Illi线.因为不定积分打⑴血=F(力+C是/(对的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族.积分曲线族＞-F(x)+C的特点是：(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其屮某一条沿y轴平行移动而得到.(2)每条积分曲线上横坐标相同点处，切
8、线斜率相等，都等于/(兀)，从而使相应点的切线相互平行(如图3-2所示).图3-2教师讲授95，3・不定积分的基本积分公式、运算法则、直接积分法新知识基本积分公式函数的不定积分与导数(或微分)互为逆运算，因此，对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式.序号F3=/(兀)
9、/(x)dx=F(兀)+C1.(kxY=kjkdx=kx+C2.'1严]=严(QH1)ia+1丿[xadx=1xa+i+C(QH1)」Q+l3.(exY=exJexdx=e”+C4.(ln
10、x
11、/=-XJ—d.r=In
12、x
13、+CX5・(xy——=ax(
14、a>0.丿faxdx=上一+C(a>0,aH1)JIna6.(-cosx)z=sinxJsinxcU=-cosx+C7.(sinxY=cosxjcosxdx=sinx+C8.(tanxY=secxJsec2xdx=tanx+C9.(-co(x)"=cscx
15、cos2xdx=-cotx+C10.(secx
