李广全-高等数学（工科类专业适用）教案1.2.1极限的定义

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1、1.2.1极限的定义教学目标：（1）结合图像理解极限的的概念及其两种变化过程；（2）了解两种趋近过程屮极限存在的充要条件，会判断极限是否存在;教学重点：函数在自变虽两种变化过程的极限；教学难点：极限的概念。授课时数：2课时.教学过程备注过程导石刘徽在“割圆术”屮提到，如果不断地分割下去，宜到圆周无法再分割为止，即圆内接正多边形的边数无限多的时候，正多边形的周长就与圆的周长“合体”而完全一致了•下面对这种数学思想做进一步研究.主要研究在自变量兀的某种变化趋势下，函数y=f（x）的变化趋势.白变量的变化规律分为两大类.结合图像动画演示（1）口变量兀的绝对值无限增大，记为XTOO,当

2、兀只取正数而无限增大时,记为XT+oo,当无只取负数而绝对值无限增大时，记为XT-co.（2）自变量X无限趋近于某定值X0，记为XT勺，肖X从左侧无限趋近于X0（即只取小于兀°的值）时，记为XTXo一，当X从右侧无限趋近于必（只取大于勺的值）10'时，记为x—>x0+・1•兀Too时，函数y=f（x）的极限探究利用髙级计算器作出函数y二丄的图像（图1・8）,观察图像，研究当兀的绝X对值无限增大时，函数值y的变化情况.图1-8教师演示分析讲解新知识观察图1・8发现，随着自变量x绝対值的增大，图像越來越接近兀轴，说明函数y=-的绝对值越來越小，并且无限趋近于0.一般地，设/（兀）对

3、任意大的卜

4、有意义，如果当XT8（或兀T-OO,兀T+oo）时,/（X）的值无限趋近于确定的常数A,则把常数A叫做函数/（兀）当XToo（或%—>-©o,x—>+oo）时的极限，记作lim/（x）=A（或limf（x）=A,limf（x）=A）.还XTooXT-8XT2"J以记作JX）TA（X->00,或兀—一00或兀—+8）•25z符号x—>oo包括无T-8与XT+oo,因此limf(x)=limf(x)=Aolimf(x)=A.TyoJVT+

5、川高级计算器作出函数图像如图1-10所示，观察图像知,兀71limarctanx=——，limarctanx=—limf(x)=2.XT-oo2X—2XT+e©因此limarctanxlimarctanx,35’：T-ooX—>+<«>所以limarctanx不存在•・YT82.时，函数y=f（x）的极限探究观察函数y=^—的图像（图1-11）,研究当兀无限趋近1时，函数值y的变x-1化情况.图Ml40z新知识由于当XHlII寸兀2_1=（兀+1）（—1）F+]x-1x-1y2_l两数）匸——的图像就是在函数y=x+l的图像屮挖去点（1,2）（图1-11）.观x-1察发现，当口

6、变量兀从1的左侧无限趋近于1吋，函数值无限趋近于厶当口变量兀从1的右侧无限趋近于1时，函数值无限趋近于厶如果白变量从1的两侧以任意方式无限趋近于1时，两数值无限趋近于2.-般地，设/（兀）在点X。近旁有意义（在勺点可以没有定义），如果当XTXo时,/（X）的值无限趋近于确定的常数A，则把常数A叫做函数/（X）当兀T勺时的极限,记作lim/（x）=A.还可以记作/（x）A（x->x0）.x从左侧趋近点勺时的极限叫XT*。做左极限，记作lim/（x）=A；x从右侧趋近点勺时的极限叫做右极限，记作xf0一limf（x）-A.符号XTX。包括兀TX。一与兀T勺+,故limf（x）=li

7、mf（x）=4<=>limf（x）=A.xfo一xt^+xfd知识巩固x+1,x<0,例2LL知函数f（x）=<0,x=0,教师引领学生完成x-l,x>0・（1）求当XT1时,函数/（兀）的极限；（2）求当兀TO时，函数/（兀）极限.解作出函数图形（图1-12）,观察图像知:（1）lim/（x）=0；XT1(2)limf(x)=1,limf(x)=_]•因为limf(x)丰limf(x),XT(厂x—>0+XT(厂XT()+所以当XTO吋，/(X)的极限不存在.练习1211.利川函数图像求卜•列极限.(1)limC(C为常数)；XT"(3)lim(»；X->4oo2(2)lim

8、2X；.TT-oo(4)limsinx；xtO2.作出函数加彳3_—£的图像，并求lim/(x).XTl学生课上完成教师讲评85，小结新知识：函数极限的定义1.H学微软高级计算器Mathematics4.0;2.完成习题册作业121。