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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案7.1.2幂级数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、7.1.2幕级数教学目标：（1）记住幕级数的一般形式及相关概念；（2）学会求一些简单的慕级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上的和函数。教学重点：（1）幕级数的一般形式及相关概念；（2）一些简单的幕级数的收敛半径，收敛区间的求法。教学难点：幕级数概念的理解。授课时数：1课时.教学过程过程备注探究下而研究函数项级数.观察等比级数£广=1+工+尸+...+工〃+....级数的部分和为S,=L—」—Xmc白，当*1时，所以limS〃=〈1一工n―>8〔不存在，当
2、可，1时.因此，级数当
3、同<1时，收敛且其和为」-；当
4、x
5、Nl时发散.
6、n=lIf提问5，新知识形如82。〃（、一叫））〃=%）+a（x-x（））+a2（x~x（）y+・・・+。〃（工一叫））〃+・・・w=0的函数项级数叫做X-与的幕级数（其中。0，是常数）.当工0=0时，上述的慕级数成为ooV'ClnX'=%i+01++•••+。,,泌+•・•.nuixnn=0可以看到，等比级数£广=1+》+亍+...+/+…是藉级数n=l使函数项级数收敛的点叫做级数的收敛点使函数项级数£*（x）发"=1W=1散的点％叫做级数的发散点.所有收敛点的集合叫做级数的收敛域，所有发散点的集合叫做级数的发散域.例如界级数
7、£广的收敛域为（_i,i）.刀=1函数项级数£*（》）对于收敛域内的某一个点x,都有一个确定的和数与之对同应，这样在收敛域内，函数项级数的和是X的函数，叫做函数项级数的和函数，记教师讲授作s(x).即8s(x)=»〃(').n=l例如幕级数£广'的和函数为即£^(X)=—,XG(-1,1).n=lIfn=lIf知识巩固例4求幕级数1+(X+1)+3+1)2+(x+1)3+...的收敛域与和函数解该幕级数是公比为0=1+1的等比级数，其部分和为_1~(x+1)71]_(x+l).根据上面的讨论，当
8、x+l
9、vl,即-2vx<0时，级
10、数收敛.并且limSit=--=.”女-qx故级数的收敛域为(-2,0),和函数为s(x)=--.BP81£(x+l)"4一,x€(—2,0).H=lX新知识幕级数的收敛性一般有以下三种情形：〃=0(1)仅在点x=0处收敛，(2)在(-8,+OO)内处处收敛，(3)存在一个正数R,当优
11、vR时收敛，当闰>7?时发散.称正数R为级数的收敛半径，区间(-R,R)叫做收敛区间.经常使用下面的方法进行判定：对于慕级数Yanxn，设夭0,如果limM=p,那么〃=0%
12、(1)当0V〃V+8时，收敛半径R=j(2)当〃=0时，收敛半径7?=
13、+°°；(3)当/9=+°°时，收敛半径R=0.知识巩固例5求幕级数的收敛半径及收敛区间.解I"「0]=；,。〃+1=；灯,因此12’教师讲授17'教师讲授25’教师引领学生完成则收敛半径R=±=,收敛区间为(一1,1).例6求幕级数£二的收敛区间.n=o4解令(=x于是原幕级数变为A1，/=0%..
14、。〃+』「4〃1p=lim=hm―—=一.q〃-》84〃+4所以R=-=4.P由t<4,即x2<4得
15、x
16、v2.故幕级数£胃的收敛区间(-2,2).〃=o4说明求幕级数的收敛域的时候，一般需要首先求出收敛区间，然后判定级数在区间
17、端点处是否收敛.如本题中，级数在X=-1处收敛，在X=1处发散，因此级数的收敛域是［-1,1).在本教材中，i般不做这方面的研究，如果需要可以利用软件来完成.33，链接软件利用matlab软件可以将一个函数展开为幕级数，方法详见实验7.例如：将函数f(x)=sinx展开为辱级数，写出展开至5次辱项的操作为：clearsymsxf=sin(x);taylor(f)显示：f=sin(x)ans=x-l/6*xA3+l/120*xA51315smx=x——x+x+…即6120演示37,练习7.L2811.求下列幕级数£天泌的收敛区间与和
18、函数.〃=i22.求下列幕级数的收敛半径和收敛区间8n82n⑴£而；(2)£衬“=
19、H=1°学生课上完成43’小结新知识：幕级数的一般形式及相关概念，一些简单的幕级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的求法。作业1.记忆幕级数的一般形式，梳理求慕级数的收敛半径，收敛区间及在收敛区间上和函数的方法。2.完成习题册作业7.1.2。45，
