高中数学论文：数学高考永恒的话题转化与化归

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1、数学高考永恒的话题转化与化归思想方法的应用转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一•样的。等价转化要求转化过程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得结果为原题的结果；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所

2、得结论进行必要的修正。非等价转化不要求转化过程具有充要性。应用转化、化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化形式冇：繁与简的转化、一般与特殊的转化、数少形的转化、主与次的转化、正为反的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数与方程的转化、三角与圆锥曲线的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。本文就转化的方式及转化中应注意的问题举例分析如Fo一、转化的方式1、繁与简的转化有些问题的条件、结论比较复杂，或者一般解题方法过于笨拙，此吋，可对

3、条件、结论进行变形，化归为简单形式，对常规解法进行反思，寻找简捷解法。例1、化简2sin2^sin2^+2cos2^cos2^-cos2^cos2^?0［解析］原式=2sin20sin2^+2cos2^cos2(p-(2cos20-1)(2cos2(p_)=2sin2^sin20-2cos2&cos20+2cos20+2cos20一1=2sin2^sin2&+2cos?&(1-cos?<9)+2cos2^-1=2sin2&(sin?O+cos?^)+2cos20-=2sin2^+2cos2^-1=

4、1.［评析］本题中出现的角的形式多，故应先变角。化简三角函数的基本方法：统一角、统一名，通过观察“角”，“名”，“次幕”，找出突破口，利用切化弦、降帚、逆用公式等手段将其化简。2、一般与特殊的转化当某问题一时无法找到解决的突破口吋，可将问题特殊化，再回到一般情形进行研究。例2、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为贝ijcosa二。［解析］不妨认为一个正四棱柱为正方体，与疋方体的所有而成角相等时，则与相交于同一顶点的三个相互垂肓的平面所成角相等，即为体对角线与该正方体侧面所成角,3、数与形的转化数

5、与形的转化是一种极其重要的转化。数与形是数学研究的两类基本对彖,由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化。根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形來解决问题，这种方法称数形结合法。例3、已知实数兀,y满足方程(x-3)2+/=4,试求上的取值范围。X［解析］由已知条件知上表示已知圆(兀-3)2+y2=4上一点P(x,y)到原点的斜率(如图)，耒駢鳳斜X率为k•要使直线0P与圆有公共点当且仅当圆心01(3,0)到直线y=kx的距离不大于圆的半径，即_巫*巫,故2的取值范围为

6、［—迹，迹］。55x55［评析］数形结合，联想斜率或两点的距离公式利用解析几何方法求解，方法新颖，妙趣横生，富有创造性。4、主与次的转化在解与方程、不等式有关问题时，为了使代数式简单、明朗化，可采用反客为主的解题策略，将主元与参数的地位相互交换。变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化牛为熟、简捷求解之作用。例4、已知方程ax2+2(3-a)x+a-2=0中的a为负整数，求使方程至少有一个整数解时a的值。［解析］将方程的参数a视为主元，贝iJ(x2-2x+l)t7+6x-2=0,即

7、(兀―1)。=2-6兀，2-6%(—1)2(X1)O2—6无•••。负整数，即—.,-=^-1即x2-8^+3<0,解得4—加5兀54+価。因此x整数值为2、3、4、5、6、7逐个代入a=~得x=2时，a=-iO；(—I)?x=3时，a=-4。故当为a=-10^a=-4时，方程至少有一个幣数解。［评析］本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在.5、正与反的转化解题一般是从正而入手，习惯正向思维，当正面处理感到困难时，不妨从其反面入手思考，此法称为逆

8、向思维方法。例5、10张奖卷中只有3张有件有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率为()A.2氏丄c.1D.H1012212分析；记事件A为“至少有1人中奖”，贝U其对立事件方为“无人中奖”,先求方的概率。则P(A)=1-P(A)=1-—,1212选D._A1［解析］P(A)=^=—C1AI012［评析］;木题采用了逆向思维方法，采用这种方法可使问题解答变的简便。6、空间为平面的转化例6、如图1,在直三棱柱ABC-AiBiCi中，底面为直角三角形