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1、第二节第二章初等函数的导数(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式初等函数求导问题本节内容思路:主要内容二、反函数的求导法则三、复合函数的导数五、隐函数的求导法则六、对数求导法七、高阶导数一、函数四则运算的求导法则*八、由参数方程所确定的函数的导数四、初等函数的求导问题一、和、差、积、商的求导法则定理证：（1）于是法则(1)获得证明.法则(1)可简单地表示为证(2)于是法则(2)获得证明.法则(2)可简单地表示为证(3)于是法则(3)获得证明.法则(3)可简单地表示为推论(1)wvuwvu¢-¢+¢=¢-+)
2、((C为常数)此法则可推广到任意有限项的情形.例1求及解：练习1解：.sin223的导数求xxxy+-=练习2解：例2解：同理可得例3解：同理可得二、反函数的求导法则定理2.单调、可导,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此例1解：利用特别地，例2解：三、复合函数的求导法则定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)或且其导数为处可导,在点则复合函数,处可导点对应在而,处可导在点设函数x(x)]f[yuxf(u)
3、yx(x)ujj===证例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例1解：注（1）：熟练以后，中间变量可省略不写。例2解：例3解：注（2）：对于多层复合函数，不必写出具体的复合结构，只要记住哪些为中间变量，哪个是自变量，把中间变量的式子看成一个整体即可。熟练掌握这一方法可提高求导速度。另解:例4解：例5解：练习解：1.常数和基本初等函数的导数说明:最基本的公式由定义证明，其它公式由求导法则给出。四、初等函数的求导问题2.四则运算的求导法则(C为常数)4.初等函数在定义区
4、间内可导,且导数仍为初等函数.3.复合函数求导法则1.思考与练习对吗?2.设求解:方法1利用导数定义.方法2利用求导公式.3、解：此为幂指函数。将其化为指数形式幂指函数这样，便可直接求导幂指函数化为指数形式：4.设其中在因故正确解法:时,下列做法是否正确?在求处连续,四、隐函数的导数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化.由表示的函数,称为显函数.两个变量y与x之间的对应关系，可用不同方式表达。若由方程可确定y是x的函数,函数为隐函数.则称此例如,可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.特点定义：求导？即隐函数求
5、导方法:问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?把方程中的y看做x的函数y=y(x),方程两端对x求导数，得到含导数的方程，然后解出。求导时，碰到含有y的项，将y视作中间变量，利用复合函数的求导法则求导数。关键：例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对x求导，注意y=y(x),得因x=0时y=0,故确定的隐函数解出例2求由方程所确定的隐函数的导数。解:把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x),从而注意:在结果中,分式中的y=y(x)是由方程所确定的隐函数.练习1解：方程两边对x求导，解得函数的导数例3.求椭圆
6、在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即解：此为幂指函数。将其化为指数形式例4.求的导数.法一：五、对数求导法幂指函数例5.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导，幂指函数法二：先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.对数求导法：两边对x求导，得于是解：两边取对数，得例6求的导数。例7解:等式两边取对数，得两边对x求导数，得内容小结1.隐函数求导法则：直接对方程两边求导2.对数求导法：先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.多个函数相乘和幂指函数的情形。适用范围:
7、求其反函数的导数.解:方法1方法2等式两边同时对求导1.设思考与练习1、高阶导数的概念速度即加速度即引例：变速直线运动的位置函数为这种导数的导数或叫做s对t的二阶导数.所以，直线运动的加速度就是位置函数s对时间t的二阶导数.六、高阶导数若函数的导数仍可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作则称为函数依次类推,分别记作即定义.二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.若f(x)在x处有n阶导数，那么在x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。结论：2、高阶导数的计算例1解
8、：（1）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.).0(),0(,arctanffxy¢¢¢¢¢=求设例2解：(2)数学归纳法从低阶导数找规律，给出高阶导数。举例.阶导数公式求幂函数的n)(RxyÎ=aa设例2解：同理可得.,sin)(nyxy求设=求由方程所确定的隐函数的二阶导数。解:应用隐函数的求导方法,得例3于是内容小结(1)逐阶求导法(2)利用归纳法
