1.1-集合概念1

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1、离散数学(I)主讲教师:冯莎莎助课教师:林海吉林大学计算机科学与技术学院智能决策与自动推理教研室冯莎莎shashafeng@mail.edu.cn林海linhai@email.jlu.edu.cn教研室电话:5166478学习这门课的目的:1.知识本身2.数学训练学习这门课的方法:1.认真理解概念2.认真读书中的内容3.做题基本内容第一章集合论基础（集合论）第二章命题逻辑第三章谓词逻辑第四章图与网络（图论）第五章数论基础（数论）第六章—第八章（抽象代数）（数理逻辑）第一章集合论基础§1.1集合的基本概念§1.2关系§1.3映射康托尔（G.

2、Cantor,1845－1918)，德国数学家。他创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。1856年康托和他的父母一起迁到德国的法兰克福。像许多优秀的数学家一样，他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论。他的父亲力促他学工，因而康托在1863年带着这个目地进入了柏林大学。这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心。康托很早就向往这所由魏尔斯特拉斯占据着的世界数学中心之一。所以在柏林大学，康托受了魏尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学。

3、他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授。1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。克罗内克（L.Kronecker，1823－1891），是康托尔的老师，他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔。横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。法国数学家庞加莱（H.Poi

4、ncare，1854－1912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西。集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。德国数学家魏尔（C.H.HermannWeyl，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯.克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交。......从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度

5、沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。这对我来说是最值得钦佩的数学理智之花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所取得的最高成就之一。没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱赶出去。——希尔伯特超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一。——罗素由康托尔的工作所带来的哲学革命也许甚至比数学本身还伟大。——约代因康托尔的主要研究成果由

6、于康托尔所创立的朴素集合论产生了悖论，促进了集合论公理化的工作。具有代表性的工作有两个：由德国数学家策梅洛(E.Zermelo)于1908年首先建立，后来由以色列数学家弗兰克尔(A.A.Fraenkel)，挪威数学家斯科伦(T.Skolem)与冯•诺依曼(vonNeumann)等人于20世纪20年代加以改进的ZF公理集合论系统，加入选择公理的系统成为ZFC。vonNeumann-Bernays-Gödel公理系统，简称NBG系统。教材主要介绍康托尔的朴素集合论的工作。§1.1集合的基本概念定义“所要讨论的一类对象的整体”“具有同一性质单元

7、的集体”“把人们直观的或想象的一些确定的、可区分的对象汇总在一起成一整体，便是一个集合”通常，用大写的英文字母A,B,C,……表示集合；1、二十六个英文字母构成一个集合；2、所有的自然数构成一个集合；3、这间教室中的所有座椅构成一个集合；4、平面上的所有点构成一个集合。例如:集合的元素组成一个集合的那些对象或单元称为这个集合的元素。通常，用小写的英文字母a,b,c,…表示集合中的元素。设A是一个集合，a是集合A中的元素，记为aA，读作a属于A；若a不是集合A中的元素，则记为aA，读作a不属于A。例如：若A是正偶数集合，则2A，8A

8、，36A；而3A，9A，17A属于有限个元素a1,…，an构成的集合，称为有穷集或有限集，记为{a1,…，an}；包含无限个元素的集合，称为无穷集或无限集。例：所有英文字母组成的集合是