06一元回归分析

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1、一元回归分析周圣武引言变量之间的关系：★确定性关系★相关关系英国著名生物学家兼统计学家高尔顿和皮尔逊在研究父母亲身高与其子女身高的遗传关系时,观察了1078对夫妇,发现这1078对夫妇的平均身高为68英寸，而其成年儿子的平均身高为69英寸.1他们将观察值在平面直角坐标系上绘成散点图,发现趋势近乎一条直线,计算出该的直线方程为2如果与随机变量y之间存在相关关系,ε——其它随机因素的影响,通常假设ε是不可观测的随机误差,它是一个随机变量.——解释变量y——被解释变量多元线性回归模型:多元线性回归方程§1一元线性回归一元线性回归模型一元线性回归方程通常假定1设是的一组

2、观测值,则假设观测值相互独立相互独立相互独立假设是确定性的变量,其值是可以精确测量和控制的.1.最小二乘估计设是的一组观测值,对每个样本观测值考虑与其回归值的离差综合考虑每个离差值,定义离差平方和1所谓最小二乘法,就是寻找参数的估计值使得离差平方和达到极小值,即选择使得满足上式的称为回归参数二乘估计。的最小由于的极小值总是存在的2因此应满足即3整理得正规方程组4若记由例1在钢线碳含量对于电阻的效应的研究中,得到了以下数据:碳含量（%）0.100.300.400.550.700.800.95电阻（微欧）1518192122.623.826假设对于给定的x,y为正态

3、变量,且方差与x无关.如果x,y满足经验公式求线性回归方程解设现在12从而所求的线性回归方程为的估计定理1从而的无偏估计为2.1例2求例1中的无偏估计.解由例1得3．最小二乘估计量的性质定理2都是的线性组合定理3的最小二乘估计都是无偏的,即定理41定理5对于给定的是的线性组合,并且4．线性回归方程的显著性检验（1）t检验检验假设由于,因此当原假设成立时,有1与且相互独立=>该假设检验问题的拒绝域为例3检验例1中的线性回归是否显著.解检验假设拒绝域为由例2得=>拒绝即认为线性回归显著（2）F检验定理6当时,1检验假设选取统计量对给定的显著性水平的拒绝域为5．回归系

4、数的区间估计6.预测（1）单值预测设回归方程为（2）区间预测设回归方程为例5求例1中当碳含量为0.50时,电阻的置信水平为0.95的置信区间解由例1和例2可得1§2可线性化的一元非线性回归1.双曲线:2.幂函数:3.指数曲线:4.倒指数曲线:取对数得取对数得5.对数曲线:6.S形曲线:作变换得例1在彩色显影中,根据以往经验,形成染料光学密度与析出银的光学密度之间呈倒指数曲线关系:已测得11对数据见下表（1）求出经验回归曲线方程；（2）对回归曲线的显著性进行检验.x0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47y0.100

5、.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29解（1）由令经计算得(1)(1)=>线性回归方程为=>曲线回归方程为(2)检验假设拒绝域为现在n=11，取(2)=>拒绝原假设=>y对x的回归方程是显著的.Thankyou