一元线性回归分析回归分析一元一元线回归分析

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1、第24讲一元线性回归分析教学目的：1.使学生理解随机变量y与普通变量兀间的相关关系；2.使学生理解Y与x间的一元线性回归模型Y=a+bx^-s；3.使学生掌握未知参数d和b的最小二乘估计方法；4.使学生掌握线性假设的显著性检验方法。教学重点：使学生理解丫与兀间的一元线性冋归模型y=g+加+£,掌握未知参数a和b的最小二乘估计方法。教学难点:使学生理解Y与兀间的一元线性回归模型Y=0+5X+£。教学时数：3学时。教学过程：第九章归分析§9.1回归分析的基本概念客观世界中普遍存在着变量间的关系，而变量

2、间的关系一般可分为两类：确定性关系和非确定性关系。确定性关系：可以用函数来表示的变量间关系。非确定性关系：不能用函数來表示的变量间关系，也称为相关关系或统计关系。如身高与体重之间的关系。一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样身高的人，体重往往不相同。又如人的血压与年龄之间的关系，树高与生长时间之间的关系，商品的销售量与单价之间的关系等都是和关关系。所谓回归分析是指通过试验和观测去寻找隐藏在变量间相关关系的一种数学方法，是研究变量间相关关系的一种有力的数学工具。设随机变量丫（因变量）与普通变量兀（

3、自变量）之间存在着某种相关关系，由于丫是随机变量，对于无的各个取值，丫有它的分布，我们不妨用F（yx）表示取确定值兀时，对应的Y的分布函数。可以想彖如果我们掌握了F（y

4、x）随着兀取值的变化而变化的规律，那么就能完全掌握丫与x之间的关系了，然而这样做往往非常复杂，甚至是不可能的。作为一种近似，我们转而去考察取确定值兀时丫的数学期望，若此时丫的数学期望存在，则其值随兀的取值而定，它是％的函数。将这一函数记为“（兀），称为丫关于兀的回归函数。这样，我们就将讨论丫与兀的相关关系的问题转化为讨论E（y）

5、=“d）与%的函数关系问题了。我们先看一个例子。例1为研究某一化学反应过程中，温度兀（°c）对产品得率丫（％）的影响，测得数据如下:温度兀（°C）100110120130140150160170180190得率y（%）45515461667074788589这里自变量X是普通变量，丫是随机变量。画出散点图如下:100(-■■80.■■■60*■■■4011111'100120140160180200由散点图大致可以看出丫与无的相关关系可用线性函数/心）=d+加近似地描述,其中//（%）为取确定值无

6、时丫的数学期望。§9.2一元线性回归分析1.一元线性回归模型设随机变量y与普通变量%间存在相关关系，且假设对于%的每一个取值有Y〜N（a+Zzr,a2）其中G、b及/都是不依赖于X的未知参数。记£=丫-幺+加），则对Y做这样的正态假设，相当于假设其中未知参数Q"及/都是不依赖于兀。（1）式称为一元线性回归模型，其中b称为回归系数。（1）式表明，因变量Y由两部分组成，一部分是兀的线性函数a+bx,另一部分是随机误差£,是人不可控制的。下面的任务是对〃的估计。2.参数处b的最小二乘估计(2)(3)取兀

7、的斤个不全相同的取值西,花，，兀，作〃次独立试验，得到样本（西,片）,也,£）,,（£,匕）和样本观测值（兀1，刃）,（勺,％），，（£，%）把样本观测值（3）代入（1）得3；=a+bXj+乞，z=1,2,,n而使Q(a,b)=m心X-Cl-如)2/=1/=1达到最小为原则对未知参数。和b的估计称为未知参数。和b的最小二乘估计，估计值记为&和6。这时称y=a-3t-bx为Y关于兀的经验回归方程，简称回归方程。其图象称为回归直线。下面求未知参数。和b的最小二乘估计。求Q（a,b）的极值点有得方程组解

8、方程组得唯一解8Qda8Qdb=-2工（牙-^-如）=0/=!rt-2工（牙-°-/巧）兀•=0/=1（工兀）0+（工彳）^=21刃工Q-（工兀）（工X）工3-元）（牙-刃心1i=li=l_i=lnnnh斤工彳-（工兀J'工（兀-元尸/=1/=!/=1-1十V*—k———2^xi=y~bxn（4）1nA其屮元=—y兀•，歹=工必，&和厶为未知参数d和方的最小二乘估计值,n/=11/=!bkl曰心1—曰nnn2/=1斤工彳-（工兀J，工a-元）/=1i=la=-tK--t-.=y-^n777277（

9、5）_7?屮的&和6为未知参数a和b的最小二乘估计量，Y=工匕。/=1回归方程也可写成y=y+b（x-x）,这表明,关于样本值（心）0（兀2,的回归直线通过散点图的儿何中心（x,y）o为了计算上的方便，我们引入记号Sxr=£（坷-无）_養,）27=1/=1ni=ninsyy=L（x-y）2=Zyi-^（Zx）2z=li=Z=1Sq二£（坷-无）（刃-刃=£栩-£（£兀•）（£X）/=!i=i=i=这样，。和b的估计值可写成1"1fl八q=-£必-(-刃/=!/=i例