现代光学第7章光学小波变换

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1、第7章光学小波变换7.1短时傅里叶变换和Morlet小波变换7.2小波变换的一般定义和性质7.3实现小波变换的光学系统7.4光学小波变换的应用7.1短时傅里叶变换和Morlet小波变换由信号f(x)的傅里叶变换(7.1-1)和其逆变换(7.1-2)的定义可见，如果f(x)是时域或空域中分布在(－∞，+∞)区间的平稳过程或稳定分布，则傅里叶分析给出了近乎完美的结果。然而在自然界和科学技术领域还有大量信号，它们具有局部的或定域的特性。例如语音信号、声纳信号和各种电脉冲等，这些信号某时刻突然出现，并很快衰减到零，图7.1-1给出了这样一个信号s(

2、t)。图7.1-1“小波”信号7.1.1短时傅里叶变换实现局部化的一个简单而有效的方案是在傅里叶变换中加一个窗函数w(x)：(7.1-3)由傅里叶变换的乘积定理，在频率域中,式(7.1-3)可表示为(7.1-4)窗函数的中心定义为(7.1-5)式中:(·，·)表示两函数的内积。窗函数的宽度则定义为(7.1-6)与空域窗函数中心xc和宽度Δw相对应，存在频率窗中心坐标为(7.1-7)和频率窗宽度(也称为带宽)为(7.1-8)当Δw和ΔW都有限时，称函数w(x)在空域和频域同时局部化。乘积ΔwΔW称为空间—频率窗(简称空—频窗)，它限制了空域和

3、频域中被处理区域的范围。根据Δw和ΔW的定义式(7.1-6)和式(7.1-8)及测不准关系式，有(7.1-9)7.1.2伽伯变换1946年,伽伯引入高斯型窗函数提出了形如下式的伽伯变换:(7.1-10)式中:σ和b为变换参数。式(7.1-10)可改写为(7.1-11)如果把　　　　　　　　　　　　取为伽伯变换的基元函数，则伽伯变换可表示为内积(7.1-12)显然，伽伯变换就是高斯型窗短时傅里叶变换。窗函数中心坐标xc=0，空域窗的宽度　　　　　　窗函数wσ(x)的傅里叶变换为(7.1-13)这也是高斯函数，频率窗宽度　　　　　　　　　因此有

4、(7.1-14)以横坐标表示空间，纵坐标表示频率，可将空域和频域在一个平面上同时表示出来，称空—频坐标系。空—频窗则表示为图中的一个矩形。伽伯变换空—频窗虽然可以在空—频平面上移动，但是当参数σ确定之后，伽伯变换空间—频率窗的高度和宽度都是恒定的，如图7.1-2所示。图7.1-2伽伯变换空间—频率窗根据式(7.1-4)，伽伯变换在频域的表达式为(7.1-15)伽伯变换具有下列特点：(1)它给出一个中心位于b，宽度为　　　的空间窗，从而实现空域处理的局部化；同时它又给出—个中心位于ν，宽度为　　　　　　的频率窗，从而实现频域处理的局部化。用伽伯

5、变换来处理信号时，处理过程限制在空—频窗内进行，空—频窗的面积为1/π。(2)根据式(7.1-10)和式(7.1-15)，伽伯变换可表示为(7.1-16)7.1.3Morlet小波变换为了克服伽伯变换中空—频窗口尺寸不能变化的缺点，对伽伯变换中的基元函数进行改造，我们把伽伯变换的基元函数作为变换的母函数，再引入参数a和b，生成子函数(7.1-17)定义信号函数f(x)的Morlet小波变换为(7.1-18)比较式(7.1-18)和式(7.1-10)可见，Morlet小波变换与伽伯变换的根本差别在于:小波变换的中心频率为ν/a，随参数的增大而

6、减小。容易算出小波变换的空间窗宽度为　　　　频率窗宽度为　　　　　　　因此，当中心频率增大时(a减小)，空间窗宽度变小而频率窗宽度增大，可以处理更多的高频信息；当中心频率降低时(a增大)，频率窗变小而空间窗加宽，可以容纳足够多的空间周期，以保证处理的精度。Morlet小波变换的空间—频率窗如图7.1-3所示。图7.1-3Morlet小波变换的空间—频率窗作为比较，图7.1-4和图7.1-5分别给出了在不同中心频率下伽伯变换和Morlet小波变换的基元函数的波形。图7.1-4伽伯变换基元函数的波形图7.1-5Morlet小波变换基元函数的波形

7、7.2小波变换的一般定义和性质7.2.1小波变换的定义母函数h(x)的基本小波函数ha，b(x)定义为(7.2-1)信号函数f(x)的小波变换定义为小波和信号f(x)的内积，即(7.2-2)式(7.2-2)可改写为(7.2-3)可见，信号函数f(x)的小波变换可表示为缩放后的母函数与信号函数的相关，母函数的中心位移则是相关函数的变量。由于相关运算很容易用光学系统实现，因此小波变换可以用大家熟知的光学相关系统来实现。由小波变换的定义式(7.2-2)及互相关定理，容易得到小波变换在频率域中的表达式(7.2-4)7.2.2逆变换和相容性条件小波变换

8、式(7.2-1)的逆变换定义为(7.2-5)其中，Ch必须满足(7.2-6)相容性条件证明如下。根据傅里叶逆变换的性质，基本小波函数ha,b(x)可表示为(7.2-