现代光学第1章现代光学的数学物理基础

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1、第1章现代光学的数学物理基础1.1光波场的复振幅描述1.2二维傅里叶变换与频谱函数的概念1.3卷积与相关1.4现代光学中常用的函数1.5连续函数信号的离散与抽样定理1.6光波场的部分相干理论简介1.1光波场的复振幅描述1.1.1从几何光学到波动光学几何光学是波动光学在波长趋于零的极限情况下的近似。几何光学以费马原理(可导出光的直线传播规律、反射和折射定律)为基础，采用数学中的几何方法，研究成像光学仪器的设计、像差计算与消除和成像质量改善的问题。几何光学在处理成像问题上比较简单、精确,是设计各种光学仪器的基础，因而得到广泛应用。现在我们从几何光学

2、过渡到波动光学。首先由费马原理知道，光从给定点P到Q将沿着两点之间的光程为极值的路线传播，即(1.1-1)式中：n(x,y,z)为折射率。费马原理与经典力学中的哈密顿变分原理相似。按照经典力学中的哈密顿原理，质点在时间t1和t2之间的轨迹满足：(1.1-2)式中:L为拉格朗日函数，它是广义坐标和广义速度的函数，而积分是在时间上进行的。与之相比，费马原理是在空间变量上进行积分的。注意到无限小弧长ds可写为(1.1-3)式中:“·”表示对z的微商。将s换成z，式(1.1-1)可改写为(1.1-4)由式(1.1-4)与式(1.1-2)，可以给出相应的

3、光学拉格朗日函数定义：(1.1-5)此处，z可假定起着与拉格朗日力学中的时间相同的作用。与经典力学中的情况类似，我们同样能够引入哈密顿量。根据经典力学中广义动量p和q的定义:(1.1-6)将式(1.1-5)中的L值代入得(1.1-7)这里,p和q称为光线的方向余弦。应用光学拉格朗日函数L和光线的方向余弦p、q，可以定义光学哈密顿函数H:(1.1-8)进一步可以将光学哈密顿函数写为(1.1-9)例如，经典动量在量子力学中用相应的动量算符代替，对于x分量，动量算符为(1.1-10)式中:h是普朗克常数。类似地，在从几何光学过渡到波动光学中，利

4、用式(1.1-7)同样可写出相应的动量算符为(1.1-11)此外，在量子力学中，能量相当于算符　　　　　　而在波动光学中，它对应为　　　　　　应用光学哈密顿量，可以写出相应的薛定谔方程:即(1.1-12)应用式(1.1-11)，式(1.1-12)变为(1.1-13)式中:Ψ为波函数。式(1.1-13)与标量波动方程式　　　　　　　　　比较，能够看出　　　　　　其中λ0是真空中的波长。这样我们就由几何光学过渡到波动光学。定态光波场可用实值标量函数表示为(1.1-14)式中：(x,y,z)为空间一点P的位置坐标；ν为光波的时间频率;u(x,y

5、,z)为光波的振幅;j(x,y,z)为光波在P点的初相。ν为常量的光波称为单色光波。虽然理想的单色光波并不存在，但是研究单色光具有实际意义，它是研究准单色光和复色光波的基础。1.1.2光波场的复振幅描述为了数学运算方便，通常把光波场用复指数函数表示为(1.1-15)为简单起见，通常又把取其实部的符号Re{}略去，简写为(1.1-16)对于单色光波，式(1.1-16)中的时间因子　　　　不随空间位置变化，在研究光振动的空间分布时，可将其略去。由此可引入光波复振幅的概念，定义光波的复振幅为(1.1-17)显然，复振幅是以振幅为模，初相为辐角的复指数

6、函数，用来描述光波的振幅和相位随空间位置坐标的变化关系。光强随空间位置坐标的变化关系可用复振幅表示为(1.1-18)式中：U*为U的复共轭。复振幅的引入，大大方便了光学问题的研究。1.平面波平面波的特点是：在各向同性介质中，光波场相位间隔为2π的等相面是垂直于传播方向的一组等间距平面，场中各点的振幅为一常量。　　如图1.1-1所示，设平面光波沿z轴方向传播，观察点P的矢径为r，坐标为(x,y,z)，光波在坐标原点的初相为jO,则P点的初相为(1.1-19)式中：λ为光波长；k为波矢的大小。由于坐标原点选择的任意性，总可使jO=0，因此，沿z轴

7、方向传播的平面波的复振幅可表示为(1.1-20)可见，相位函数　　　　　　只随z变化，与变量x、y无关。图1.1-1沿z轴传播的平面波当平面波的传播方向不在z轴方向时，用波矢k表示波的传播方向，其方向余弦为cosα、cosβ、cosγ，仍设观察点P的矢径为r，于是平面波的复振幅一般可表示为(1.1-21)P点的相位函数j(x,y,z)=k(xcosa+ycosb+zcosg)为坐标变量的线性函数。2.球面波若选择直角坐标系的原点与球面波中心重合，xOz面内的波面线如图1.1-2所示。图1.1-2球面波示意图取jO=0，r=1处的振幅为a0，对于

8、发散球面波，k与r同向，k·r=kr；对于会聚球面波，k与r反向，k·r=－kr。所以球面波的复振幅为(1.1-22)3.柱面波均匀无限长同步辐射的线