[政史地]高代1复习材料

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1、行列式例1．排列31542中，逆序有31，32，54，52，42的逆序数.例2．求级排列解：方法一.逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．三、奇排列、偶排列定义标准排列123为偶排列．注：练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性．（1）（2）.答案:（2）当时为偶排列；当时为奇排列.当为偶数时为偶排列，当为奇数时为奇排列.方法一方法二.所有级排列中，奇、偶排列各半，均为个.设在全部阶排列中，有个奇排列，个偶排列，下证．将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们

2、彼此不同，同理，将个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列全变成奇排列，并且它们彼此不同，推论证明故.思考题如果排列的逆序数为k，则排列的逆序数是多少？.例3.已知,求的系数.由n级行列式定义，是一个多项式函数，且最高次幂为,显然含的项有两项:与即与中的系数为-1.解:.例计算4阶行列式解：用行列式性质将行列式化为上三角形行列式：②＋①×2③＋用性质将行列式化为上（下）三角形行列式，再计算①×(-3).③＋②×8④＋②×4④＋③×(-30/58)评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给

3、行列式化为上三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．.例1.计算行列式解：..例2.若n级行列式满足证明：当n为奇数时，的每行提取-1，得证：由有设.∴当n为奇数时，故.举例用行列式的定义计算解.2.用性质将行列式化为上（下）三角形行列式，再计算利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所

4、给行列式化为上三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．基本思路:适用题型:.数字型行列式,一般的n阶行列式,如果没有其它简单方法,均可用此法.举例计算阶行列式,其中...箭式行列式解:.上三角行列式利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一

5、次，行列式的阶数可降低1，如此继续进行，直到行列式能计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．３.用依行、列展开法则(降阶法)计算行列式.基本思路:适用题型:1.阶数不高的数字行列式．2.求余子式或代数余子式的线性表达式的类型题.3.在一些特殊的高阶行列式的计算中,结合其它方法使用..例2设,且求之值.计算行列式,得(1)解得所以【评注】要求余子式或代数余子式的线性表达式,可以考虑利用行列式按行（列）展开定理将该线性表达式化成行列式再求.解.由已知再由将代入(1)式解得基本思路:适用题型:4.用递推法

6、计算.行列式D含有同类型的低阶子式时,可以考虑用递推法.即按第1列展开举例1计算.递推关系式阶行列式,则……（1）关于和对称,故……（2）又由（1）与（2）解得解按第一列展开,有.当a=b时,由（1）得当时,综上,可得举例2计算递推关系式5、用数学归纳法基本思路:适用题型:行列式D含有同类型的各阶子式时,可以考虑对阶数用归纳法.计算时,可先利用行列式的性质或依行(列)展开法则,将D用同类型的低阶行列式表示,再利用归纳假设证明.行列式D含有同类型的各阶子式的证明题.注:数学归纳法经常和递推法结合起来

7、使用.证明:当n=1时当n=2时设阶数时,等式成立.下面证将按第n列展开.证明举例.对阶数n用归纳法.积化和差公式6.利用范德蒙行列式计算行列式利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。基本思路:适用题型:第k行(列)的元素都是i次幂形式的行列式,可以尝试将行列式化为范德蒙行列式,再计算..范得蒙(Vandermonde)行列式其中表示所有可能的的乘积．即.举例1计算解.上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知

8、.举例2设,求该方程的根.即所以方程的根为【评注】范氏行列式的应用.解左式.证明恒等式方法一:数学归纳法设阶数小于n时等式成立，下面考虑阶数为n时的情况按第1列分成两个行列式的和综合题1..方法２将行列式分成个行列式的和.例3.设　　　　　　　　　求解：和..．例2：问取何值时，齐次线性方程组有非零解?解:若方程组有非零解，则∴当时，方程组有非零解．.线性方程组例解线性方程组解对增广矩阵施以初等行变换,形矩阵:化为阶梯.利用上式回代即取则方程组的全部解为.若能，写出它的一个线性组合