材料力学第7章应力状态与强度理论

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1、第7章应力状态与强度理论7.1引言7.2平面应力状态分析的解析法7.3平面应力状态分析的几何法——应力圆7.4三向应力状态下的最大应力7.5广义胡克定律7.6复杂应力状态下的应变能与畸变能7.7强度理论概述7.1引言1.一点的应力状态扭转和弯曲研究表明，杆件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力，所以一个点的应力是该点坐标的函数。然而就一点来说，通过这个点可以有无数个截面，在不同方位截面上，这个点的应力也不同，即截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角的函数。例如，直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力就是截面倾角的函数，在杆件的横截面上，正应力取最大值；在与杆件轴线成45°的

2、斜面上，切应力取最大值。因此，凡提到“应力”，必须指明是哪个点在哪个方位上的应力。所谓“一点的应力状态”，就是指过一点各个方位面上“应力情况”的总称。应力状态理论就是研究一点不同截面上的应力随截面方位的变化规律。2.主平面·主应力·主应力单元体为了表示一点应力状态，一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无限小的正六面体，简称为该点的微体或单元体，在单元体的每个表面上标出已知的应力，称为该点的应力单元体。由于单元体是无限小的，因此可以认为:①单元体各面上的应力是均匀分布的；②单元体相互平行截面上的应力相同，且同等于通过该点的平行面上的应力。所以，一个点的单元体的应力状态完全可以代表该点的

3、应力状态。受力构件上一个点的应力单元体不是唯一的，在取单元体时，应尽量使其三对面上的应力容易确定。一般取三对面中的一对面为杆的横截面，另外两对面分别为垂直于横截面的纵向截面。图7－1给出了直杆在轴向拉伸时A点的应力单元体。图7－2给出了直杆在同时发生扭转和轴向压缩时表面上A点的应力单元体。图7－1图7－2在构件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其三个相互垂直的面上均无切应力，这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。这种特殊的单元体称为主应力单元体，简称为主单元体。主应力单元体上三个主应力按代数值大小排序为σ1≥σ2≥σ3，σ1、σ2、σ3分别称为第一主应力、第二主

4、应力和第三主应力。一般来说，受力构件上的任意点都可以找到对应的主单元体，因而每一点都有三个主应力。3.简单应力状态与复杂应力状态图7－3单向应力状态:三个主应力中只有一个不等于零，这种情况称为单向应力状态，也称为简单应力状态。　　二向应力状态:三个主应力中有两个不等于零，这种情况称为二向应力状态，也称为平面应力状态。　　三向应力状态:三个主应力都不等于零的情况称为三向应力状态。　　二向和三向应力状态统称为复杂应力状态。　　关于单向应力状态已经在轴向拉伸（压缩）中详细讨论过，本章将从分析二向应力状态开始讨论。4.应力状态实例单向应力状态实例:图7－1所示的直杆在轴向拉伸时杆件内每

5、一点均处于单向应力状态，梁弯曲时上下边缘各点的应力情况也属于单向应力状态。　　二向应力状态实例:蒸汽锅炉等其他圆筒形薄壁容器在内压p作用下（见图7－4），筒壁表面上各点均处于二向应力状态。另外，受扭圆轴各点的应力状态也属于二向应力状态。图7－4三向应力状态实例:铁路钢轨的头部和火车车轮是在很小的范围内互相接触，钢轨受到车抡的压力（见图7－5(a)）。在车轮压力作用下，钢轨受压部分的材料将有向四周扩张的趋势，而周围的材料阻止其向外扩张，故受到周围材料的压力。如果从钢轨的压力中心，沿着平行及垂直于钢轨轴线方向，截取一个单元体（见图7－5(b)），单元体上将受到三个主应力σ1、σ2、σ3

6、，这样钢轨与车轮的接触点处的应力状态为三向应力状态。与此相似，承受高压的厚壁容器器壁内各点、两齿轮的接触点及滚珠与轴承圈的接触点的应力情况，都属于三向应力状态。图7－57.2平面应力状态分析的解析法1.平面应力状态下单元体斜截面上的应力分析方法:用一个假想的平面将单元体从所考察的斜面处截开，分为两部分，考察其中任意一部分的平衡，由平衡条件可求得该斜截面上的正应力和切应力。这就是截面法，是分析单元体斜截面上应力的基本方法。公式推导:设单元体处于平面应力状态（见图7－6(a)），图7－6(b)是单元体的正投影。已知:σx、σy、τxy、τyx，斜面倾角为α。求斜面α上的正应力σα和切应力τ

7、α。应力正负号规定:规定正应力拉为正，压为负；切应力对单元体内任意点的矩为顺时针转向时切应力为正，反之为负；斜面倾角α从x正向转到斜截面外法线，逆时针时为正，顺时针为负。按照上述规定，在图7－6(b)中，σx、σy、τxy和α都取正值，而τyx取负值。　　　　应力符号角标的含义:σx、σy分别表示法线与x、y轴平行的面上的正应力；切应力τxy第一个角标表示切应力作用面的外法线方向，第二个角标表示切应力的方向平行于y轴。图7－6用平面将单元体