信号与系统 第八章 Z变换及分析

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1、第八章Z变换和离散系统的Z域分析信号与系统本章内容：z变换的基本概念和基本性质z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系利用z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频响特性系统函数零极点分布与系统时域、频域特性及稳定性的关系z变换与拉氏变换相对应。z变换的基本思想、许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。§8.1引言一、定义—由拉氏变换引出Z变换有抽样信号单边拉氏变换§8.2Z变换的定义、典型序列的Z变换§8.3Z变换的收敛域单边Z变换则有广义上：T=1实质是复变量z-1的幂级数，系数就是序列值。令,其

2、中z为一个复变量***从S平面到Z平面的映射***二.Z变换的收敛域（ROC）：Z变换存在着收敛的问题。1.并非任何信号的Z变换都存在。2.并非Z平面上的任何复数都能使收敛。Z平面上那些能使收敛的点的集合，就构成了的ROC。级数收敛3.Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。级数收敛的判定：1）比值判别法2）根值判别法例：求的z变换的收敛域。解：三、典型序列的Z变换1.单位样值序列2.单位阶跃序列3.斜变序列3.指数序列4.余弦序列5.正弦序列说明：四几类序列的收敛域收敛域为除了0和的整个平面。（1）有限长序列：在有限区间内，有非零

3、的有限值的序列另,思考：（2）右边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆外为收敛域（3）左边序列：只在区间内，有非零的有限值的序列收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点（4）双边序列：在区间内，有非零的有限值的序列圆内收敛圆外收敛时，没有收敛域时，有环状收敛域例:右边序列例左边序列圆内为收敛域，若则不包括z=0点包括在内。例：有限长序列收敛域为，即除了0的整个平面8个零点7阶极点一阶极点例双边序列小结：1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存在Z变换，也不是任何复数Z都能使收敛。2）仅仅由的表达式不能唯一地确定一个信号，只有连同相

4、应的ROC一道，才能与信号建立一一对应的关系。3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。4）如果，则其ROC是各个的ROC的公共区域。若没有公共区域则表明的Z变换不存在。5）当是有理函数时，其ROC的边界总是由的极点所在的圆周界定的。§8.4逆Z变换（1）留数法（2）幂级数展开法（3）部分分式法一、留数法z平面上假设有一固定的围线C，它包围原点，上式两边乘以，然后沿着围线逆时针转一圈积分，得到：复变函数中的柯西积分公式：得逆变换围线积分定理（留数定理）：令得一阶极点：k阶极点：试用留数法进行反Z变换。这里的x(n)为因果序列。解:

5、先求被积函数X(z)zn-1的极点。例：设有Z变换式其极点在z=1和z=－0.5例解是因果序列二.幂级数展开法:（长除法）由的定义，将其展开为幂级数，有展开式中项的系数即为。当是有理函数时，可以通过长除法将其展开为幂级数。由于右边序列(因果）的展开式中应包含无数多个z的负幂项，所以要按降幂长除。由于左边序列(非因果）的展开式中应包含无数多个z的正幂项，所以要按升幂长除。双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。例：求收敛域分别为

6、z

7、＞1和

8、z

9、＜1两种情况下的逆变换x(n)。解对收敛域

10、z

11、＞1，序列x(n)是

12、因果序列，这时X(z)写成进行长除，展开成级数得到对收敛域

13、z

14、<1，与X(z)相应的序列x(n)是非因果序列，这时X(z)写成进行长除，展开成级数例幂级数展开法的缺点是当较复杂（含多个极点时）难以得出的闭式。所以前式按降幂长除，后式按升幂长除。幂级数展开法适用于来求解有理函数形式的逆变换。三、部分分式法只有一阶极点例简单的可用公式或查下册第375页的附录五！右边序列左边序列双边序列高阶极点！§8.5Z变换的基本性质（自学61-73页）线性和位移特性序列线性加权（Z域微分）序列指数加权（Z域尺度变换）初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦

15、尔定理（参见下册的P-73表8-5）一、从S平面到Z平面的映射§8.6Z变换与拉氏变换的关系多圈二、拉氏变换与z变换的关系信号x(n)的Z变换是对该信号包络所构成的连续时间信号的理想抽样函数的拉氏变换，将变量s代换为的结果。※连续信号的拉氏变换与Z变换的关系若只含一阶极点则已知，为经均匀抽样构成的序列。作业1：8.1(选做4题）8.28.48.5(2）8.128.13(选做1题）8.17(选做1题）§8.7用单边Z变换解差分方程解差分方程的方法：（1）时域经典法（2）Z变换解法一、复习Z变换的位移性质位移性质表示序列位移后的Z变换与原序列Z变换的

16、关系。位移有左移和右移之分，变换有双边和单边之分：1.双边序列的双边Z变换若则2.双边序列左移的单边Z变换若则3.双边序列右移的单边Z变