信号与系统z变换教学

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1、第10章z变换掌握Z变换定义及基本性质、牢记常用典型信号的Z变换。掌握求解信号Z变换(包括正变换和反变换)的基本方法。掌握运用Z变换分析LTI系统的方法。掌握系统函数H(z)收敛域与系统因果稳定性的关系：定性分析方法。掌握系统的典型表示方法：H(z)、h[n]、差分方程、模拟框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。10.0引言前一章我们讨论了拉氏变换，并利用系统函数的零极点分析了连续时间系统的基本特性。本章将讨论Z变换，从变换的基本性质和基本作用来看，Z变换和拉氏变换是相似的，而且，讨论展开的思路也是和拉氏变

2、换平行的。当然，由于连续时间信号和离散时间信号之间的基本差异，Z变换和拉氏变换之间必然存在着某些不同。在本章的学习中，读者可以借助拉氏变换的知识来理解Z变换的基本概念，同时也应通过两者之间的不同来领会Z变换的主要特点。一、离散时间特征函数设一个离散系统的输入为x[n]=zn就是h[n]的z变换。10.1z变换定义二、离散时间信号的z变换离散时间信号的z变换定义为：记作：为了理解z变换和离散傅立叶变换之间的关系z=rejw则：因此，Re(z)Im(z)1wz-planer三、z变换的几何解释和收敛域Z变换和DT信号傅立叶变换

3、之间关系的讨论和对CT信号的讨论几乎并行进行的，但是一些重要的不同。在z变换中当变量z的模为1，即z=ejω时，z变换退化成DTFT。傅立叶变换就是在复数z平面中，半径为1的圆上的z变换。如果ROC内包括单位圆，则傅立叶变换收敛！收敛问题为了使z变换收敛，等同于要求x[n]r-n的傅立叶变换收敛。总的来说，对某一序列x[n]的z变换，存在着某一个z值的范围，在该范围内的z，X(z)收敛。由这些使X(z)收敛的z值所组成的范围，就是收敛域(ROC)。例指数函数的z变换考虑信号x[n]=anu[n]其z变换为：X(z)要收敛，

4、要求：收敛域为：当a=1Z变换的结果X(z)=z/(z-a)是一有理函数，因此，可用它的零点和极点来表示。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例考虑信号x[n]=-anu[-n-1]什么情况下，上式收敛呢？当

5、a-1z

6、<1，即

7、z

8、<

9、a

10、时，收敛。Re(z)Im(z)1Unitcircleax例两个实指数信号之和收敛域为

11、z

12、>1/2。10.2z变换的收敛域性质1：X(z)的ROC是在z平面内以圆点为中心的圆环。Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)Re(z)Im(z)性质2：ROC内不包括任何极点。在极点

13、处，X(z)为无穷大。Re(z)Im(z)×性质3：如果x[n]是有限长序列，那么ROC就是整个z平面，可能去除z=0和/或z=∞。例：分别求以下信号的z变换解：整个z平面性质4：如果x[n]是一个右边序列，并且

14、z

15、=r0的圆位于ROC内，那么

16、z

17、>r0的全部有限z值都一定在这个ROC内。nRe(z)Im(z)N1………性质5：如果x[n]是一个左边序列，并且

18、z

19、=r0的圆位于ROC内，那么0<

20、z

21、

22、z

23、=

24、r0的圆位于ROC内，那么该ROC一定是由包括

25、z

26、=r0的圆环所组成。n………………Re(z)Im(z)性质7：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。性质8：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若是右边序列，那么，ROC就位于z平面内最外层极点的外边。性质9：如果x[n]的z变换X(z)是有理的，而且若x[n]是左边序列，那么，ROC就位于z平面内最里层的非零极点的里边。例有一z变换X(z)为Re(z)Im(z)××单位圆Re(z)Im(z)××单位圆Re(z)Im(

27、z)××单位圆Re(z)Im(z)××单位圆例：且a>0，求出Z变换，画出零极点图，同时指出其收敛域。解：例：求其z变换解：而：当b<1时，其收敛域为：b>1时其收敛域由以上收敛域，可知只有当b>1时双边指数序列的收敛域才有公共的收敛域，而当b<1时其收敛域没有重叠部分，因此不存在z变换。10.3z反变换由已知z变换求得一个序列的几种方法。z反变换公式长除法部分分式展开法一、z反变换公式所以而z=rejwRe(z)Im(z)1Unitcircleax积分路径二、部分分式展开法设X(z)的部分分式展开式具有如下形式：1.对于

28、一阶极点，可以展开为：其中：对于含有二阶或二阶以上极点的z变换，其逆变换的求法如下：推广到一般情况：若含有r重根，则例有一z变换X(z)为解：对X(z)进行部分分式分解Re(z)Im(z)××单位圆Re(z)Im(z)××单位圆因此,x[n]为：例有一z变换X(z)为解：对X(z)进行部分分式分解Re(