低速宏观运动规律的正则形式

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1、第六章低速宏观运动规律的正则形式运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式、泊松括号对于拉格朗日形式：1.力学系统的描述：2.拉格朗日方程：3.缺点：方程中地位不平等力学系统的描述改为：(广义坐标)、(广义动量)。：有共轭关系。用这一对变量深刻反映了运动本质，且可得到更为对称的运动方程——正则方程。§1.6.1哈密顿方程一、勒让德变换（将）设：f=f(x,y)——两变量则又两式相减：——关于x,Q变量的全微分(勒让德变换)变换后的函数：Q=Q(x,y)y=y(x,Q)：从Q=Q(x,y)解出y=y(x,Q)f=f(x,y)f=f(x,Q)因此：g=f–Qy=g(x,Q)说明

2、：1．(1)、(2)两式相减的另外一种结果：(本质上与前面无差别)2．若要将变量x变为P，则上两式相减：这样3.对于用Q取代y，则将df中的dy前的Q乘以被取代的y，再减去原函数f；用P取代x，则将df中的dx前的P乘以被取代的x，再减去原函数f。4.f=f(x,y,z)——三个变量(可推广到N个变量)要将，采用与前面一样的方法，有：二、哈密顿函数设：，t——固定参量则：又广义动量：拉格朗日方程：而(上式中不对称)目的：作变换：——哈密顿函数得：又与比较得：H就是系统的能量E。在中，H只是的函数。一般情况：三、哈密顿方程由H=H(q,p)得到：比较于是有：——哈密顿方程(正则方程,系统

3、的运动方程)说明：1．数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2s个)，而拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算；2．哈密顿方程中，地位平等——相互共轭的正则变量；3．哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡。四、最小作用量原理已学：由最小作用量原理导出拉格朗日方程现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程因为，所以。将L代入作用量，得：而极值条件：又互相独立，所以即——哈密顿方程五、相空间定义：仅由广义坐标形成的空间叫位形空间；由这一对共轭变量形成的空间叫相空间。在任一时刻t，在给定位形空间中的一点r(t)，不能确定质点的运动。为了决定质点的运动，还必须知道这一时刻位矢的导数

4、，而这意味着需要知道相邻时刻的r(t)。要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，将3个坐标分量和3个动量分量合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质点的运动。质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭合曲线。§1.6.1守恒律泊松括号(PoissonBracket)一、力学量对时间的导数哈密顿形式下，——力学系统的状态。力学量用来表示的例子：一维线性谐振子：2.粒子的能量、角动量设：f——力学系统的任意力学量。一般情况：f=f(p,q,t)，则哈密顿方程：定义：H和f的泊松括号——

5、用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程说明：1．用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方程表述得非常简洁；2．泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材p464：二、用泊松括号表示出的运动方程因为1.——f中不显含时间，只含则2.——f中不显含时间，只含则即——用泊松括号表示的运动方程实际上：三、能量守恒与动量守恒设：f=f(p,q)不显含时间t，即则：又若f守恒——不显含时间t的力学量守恒的充分必要条件是它和H的泊松括号等于零若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒循环坐标：在拉格朗日

6、函数中不包含的某一广义坐标。1.设：H不包含某一广义坐标，则——与循环坐标对应的广义动量守恒2.设：H不包含，则因此，广义动量也称为循环坐标。这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，地位相等，广义动量也可视为广义坐标。四、泊松括号的性质设：任意两个函数f,g：f=f(q,p,t),g=g(q,p,t)定义：f和g的泊松括号为泊松括号的重要性质：1．基本的泊松括号(由正则变量组成)2．反对易性3．分配律4．结合律5．若c为常量，则6．求导运算x：时间、广义坐标、广义动量等变量7．线性8．雅可比关系对于哈密顿正则方程的说明：1．提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程；2．并未直接

7、减少求解给定力学问题的困难程度。因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗日方程。§1.6.3正则变换一、正则变换的涵义广义坐标为，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设为的单值可逆函数，即决定，即决定了系统中所有质点的位置也是广义坐标是之间的变换例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系就是这种变换。都是广义坐标。笛卡尔坐标和柱坐标之间的关系也是这种变换。变换表示广义坐标的选取不唯一。对拉格朗日、哈密顿表述都如此但：在哈密顿表述中，地位平等，坐标和动