分析力学讲义ppt课件chap6 低速宏观运动规律的正则形式.ppt

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1、第六章低速宏观运动规律的正则形式运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、哈密顿形式、泊松括号形式对于拉格朗日形式，有1.力学系统的描述：2.拉格朗日方程：3.缺点：方程中地位不平等力学系统的描述改为：(广义坐标)、(广义动量)：有共轭关系(独立、平等、成对)。用这一对变量深刻反映了运动本质，且可得到更为对称的运动方程——正则方程。§1.6.1哈密顿方程一、勒让德变换(将)设：f=f(x,y)——关于两个变量的二元函数则又两式相减——关于x、Q变量的全微分(勒让德变换)变换后的函数：g=f–QyQ

2、=Q(x,y)y=y(x,Q)：由Q=Q(x,y)解出y=y(x,Q)f=f(x,y)f=f(x,Q)因此g=f–Qy=g(x,Q)说明：1.(1)、(2)两式相减的另外一种结果为d(Qy–f)=ydQ–Pdx(本质上与前面无差别)2.若要将变量x变为P，则上两式相减这样3.对于df=Pdx+Qdy用Q取代y，则将df中的dy前面的Q乘以被取代的y，再减去原函数f；用P取代x，则将df中的dx前面的P乘以被取代的x，再减去原函数f。4.f=f(x,y,z)——关于三个变量的函数(可推广到N元函数)要

3、将x、y、z→x、Q、R，采用与前面一样的方法，有二、哈密顿函数设，t——固定参量则而广义动量为拉格朗日方程为而(上式中不对称)目的：作勒让德变换——哈密顿函数得又与比较得：H就是系统的能量E。在中，H只是的函数一般情况：三、哈密顿方程由H=H(q,p)得到比较于是有——哈密顿方程(正则方程,系统的运动方程)说明1.数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程(2S个)，而拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算(尤其对于数值计算)；2.哈密顿方程中，地位同等——相互共轭的正则变量、两者差别消失，可建立相

4、空间(见后)；3.哈密顿正则形式对称，有利于从经典力学到量子力学的过渡；4.循环坐标：若是拉格朗日函数的循环坐标，同时也是哈密顿函数的循环坐标，反之亦然。但是，也可以是哈密顿函数的循环坐标。而循环坐标与守恒量密切相关，力学规律采用哈密顿形式或者后面的泊松括号形式，更容易找到守恒量。另外，采用哈密顿形式时，若是循环坐标，则与其共轭的变量守恒。此时，从变量的角度讲，系统减少了一对变量，从系统自由度的角度讲，自由度由S减为(S-1)。如有心力问题中，是循环坐标，则守恒，因此在哈密顿函数中，这一对变量均不出

5、现。由以下表达式也很容易看到这一点：5.提供了一个形式简洁而又完善的统一的运动微分方程。6.有时，并未直接减少求解给定力学问题的困难程度。因为求解哈密顿正则方程归根到底仍是求解拉格朗日方程。四、最小作用量原理已讲：由最小作用量原理导出拉格朗日方程现在：由最小作用量原理导出哈密顿方程因为，所以将L代入作用量，得而极值条件：又互相独立，所以即——哈密顿方程五、相空间定义：仅由广义坐标形成的空间叫位形空间；由这一对共轭变量形成的空间叫相空间。在任一时刻t，当给定位形空间中一点的r(t)，不能确定质点的运动

6、。为了决定质点的运动，还必须知道这一时刻位矢的导数，而这意味着需要知道相邻时刻的r(t)。位形空间：位置状态；相空间：运动状态。要使得给定空间中的一点能完全决定质点的运动，将3个坐标分量和3个动量分量合在一起，形成一个6维欧氏空间，称为这一质点的相空间。这样，给定相空间中的一点，就完全决定了质点的运动。质点在相空间中的代表点随时间t的变化所描出的曲线称为质点的相轨迹。对于周期运动，相轨迹是闭合曲线(例如一维谐振子的相图)。§1.6.2守恒律泊松括号(PoissonBracket)一、力学量对时间的导

7、数哈密顿形式下，——力学系统的状态力学量用来表示的例子：一维线性谐振子2.粒子的能量、角动量设f—力学系统的任意力学量，则一般情况：f=f(p,q,t)，则由哈密顿方程定义：H和f的泊松括号——用泊松括号表示的力学量随时间的演化方程说明1.用泊松括号，可以使任一力学量随时间的变化方程表述得非常简洁；2.泊松括号形式很容易过渡到量子力学：量子泊松括号。量力泊松括号到经典泊松括号的过渡参见曾谨言《量子力学》下册p464-p466，或参见教材p464。二、用泊松括号表示出的运动方程因为1.——f中不显含时

8、间，只含则2.——f中不显含时间，只含则即——用泊松括号表示的运动方程实际上三、能量守恒与动量守恒设f=f(p,q)不显含时间t，即则又若f守恒——不显含时间t的力学量守恒的充分必要条件是它和H的泊松括号等于零若：H不显含时间t，则H是守恒量——能量守恒循环坐标：在拉格朗日函数中不包含的某一广义坐标1.设H不包含某一广义坐标，则——与循环坐标对应的广义动量守恒2.设H不包含，则因此，广义动量也称为循环坐标。这样，在哈密顿表述中，广义坐标概念被推广，地位相等，广义动量也