2017届高三数学（理）一轮总复习（江苏专用）课时跟踪检测（十六）导数与函数的综合问题

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1、课时跟踪检测(十六)导数与函数的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1・定义在实数集上的函数fix)=x2+x,g(工)=£?—2兀+加・⑴求函数心)的图象在x=l处的切线方程；(2)若/(x)Mg仗)对任意的垃［一4,4］恒成立，求实数〃2的取值范围.解:(l)V/(x)=x2+x,・•・当兀=1时，/U)=2,•・・f⑴=2x+l,・・・f(1)=3,所求切线方程为j-2=3(x-1),即3x-j-1=0.(2)令h(x)=g(x)-f(x)=+兀’-x2-3x+w,则(x)=(x-3)(x+1).・••当-4＜兀＜-1时，h'(X)＞0;当一1＜

2、兀＜3时，h'(x)＜0;当3＜兀＜4时，h'(x)＞0.要使/(x)Ng(x)恒成立，即/i(x)max^0,由上知〃(:r)的最大值在x=-1或工=4处取得，20-3加5-y=-4)w5-y+z(x即OW5-3+实数m的取值范围为(-8,-扌.2.已知函数/(*)=",Q(aVO)・(1)当a=—1时，求函数/U)的极值；(2)若函数F(x)=fix)+1没有零点，求实数a的取值范围.—x+1工—2解：(1)当-1时，f(兀)=丁・由f(x)=o,得x=2.当x变化时，f(x),/U)的变化情况如下表：X(-8,2)2(2,+8)f(X)—0+Ax)

3、极小值所以，函数几巧的极小值为几2)=-壬，函数/U)无极大值.⑵F(Q=f(x)=当aVO时，F'(x),F(x)的变化情况如下表:X(-8,2)2(2,+8)F1(x)—0+F(x)极小值若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)=刍+1>0,解得a>-e2,所以此时*5<0.故实数a的取值范围为(-e2,0).3.某商场的销售部经过市场调査发现，该商场的某种商品每日的销售量刃单位：千克)与销售价格班单位：元/千克)满足关系式j=^+10(x-6)2,其中3

4、该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格工的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.解：(1)因为x=5时，11,所以号+10=11,解得a=2.2(2)由(1),可知丁=百+10(工一6)2.设该商场每日销售该商品所获得的利润为爪兀)元，则fix)=(x-+1°(兀一6)2=2+10(x-3)(x-6)23

5、4时，函数/(兀)取得最大值，且最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大.324.(2016-扬州调研)已知函数f(x)=^—ax2+(a2—A)x和g(x)=x+*⑴求证：不论实数a取何值，./U)总有两个极值点;⑵若/U)和g(x)有相同的极值点，求实数a的值.解：(1)证明：由题意，知f(x)=x2-2«x+a2-1=[x-(a+l)]-[x-(a-1)],令f(x)=0,解得x=a+1或x=I,当xa+1时，f(x)>0,当a-l

6、=a+1为./(兀)的极小值点.所以不论实数a取何值，几r)总有两个极值点.(2)由题意，知g‘(兀)=]_令=&+")・令g‘(x)=0,得x=a或兀=-a・因为/U)和g(x)有相同的极值点，且a和a+1,”-1不可能相等,经检验，当a=或+时，/(兀)和gtr)有相同的极值点.所以a=二上台阶，自主选做志在冲刺名校设函数f(x)=^—ax—l.⑴若函数.心)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)当a>0时，设函数JU)的最小值为g⑷，求证：g⑷W0；(3)求证：对任意的正整数“，都有r+1+2w+,+3w+,+-+nw+,<(n+l)w+,.解：⑴

7、由题意知f(X)=eA-0对x€R恒成立，且ex>0,故a的取值范围为(-8,0].(2)证明：由a>0,及f(x)=ex-a可得，函数./U)在(-8,ina)上单调递减，在(Ina,+8)上单调递增，故函数./tr)的最小值为g(a)=/Una)=elna-dina-1=a-alna-1,则g'⑷二Tna,故当a€(0,l)时，g'(a)>0,当a€(l,+8)时，g‘(a)<0,从而可知g(a)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且g⑴=0,故g(a)W0・(3)证明：由⑵可知，当a=l时，总有沧)=『一兀一恃0,当且仅当x=0时等号

8、成立.即当兀>0时，总有ex>x+l.于是，可得(x+l)n+1<(eT+,=e