数字信号处理（西电版第三版）ch02-2时域离散信号和系统的频域分析

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1、DigitalSignalProcessing数字信号处理数字信号处理课程组2010年2月2.3时域离散信号的Z变换在模拟系统中，用傅里叶变换进行频域分析，而拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，用于对信号在复频域的分析。在数字域中，用序列傅里叶变换进行频域分析，Z变换是其推广，用于对信号在复频域中的分析。本节主要讲述:返回2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系2.3.2Z变换的收敛域与序列特性之间的关系2.3.3逆Z变换2.3.4Z变换的性质和定理2.3.1时域离散信号的Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系1、Z变换的定义定义序列x(n)的Z变换为式中，Z是复变量，它所在的复平面

2、称为Z平面。这里求和极限为-∞～+∞，故亦称为双边Z变换，当求和极限为0～+∞时，为单边Z变换，若不做说明时均为双边Z变换。Z变换存在的充分条件为返回回到本节2、Z变换的收敛域RegionofConvergence(ROC)收敛域是Z变换非常重要不可缺少的一部分回到本节返回使Z变换存在的的取值域，称为X(z)的收敛域。收敛域一般用环状域表示，即Rx-<

3、z

4、

5、是数字频率。这样，就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶变换。回到本节返回如果r==1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就是Z平面单位圆上的Z变换。单位圆必须包含在收敛域中，否则单位圆上的Z变换不存在，傅里叶变换也就不存在。回到本节返回2.3.2Z变换的收敛域与序列特性之间的关系序列可以分为有限长序列、右序列、左序列以及双边序列等四种情况，它们的收敛域各有特点，掌握这些特点对分析和应用Z变换很有帮助。1、有限长序列Z变换的收敛域有限长序列Z变换为回到本节返回2、右序列Z变换的收敛域右序列是指x(n)只在n≥n1序列值不全为零，在其他的区间均为零

6、的序列。右序列的Z变换式中n1≤-1。回到本节返回上式右边：第一项是有限序列的Z变换，收敛域为0≤

7、z

8、<∞。第二项为因果序列的Z变换，其收敛域为Rx-<

9、z

10、≤∞。将两个收敛域相与，得到它的收敛域为Rx-<

11、z

12、<∞。如果x(n)是因果序列，即设n1≥0，它的收敛域为Rx-<

13、z

14、≤∞。回到本节返回3、左序列Z变换的收敛域与右序列类似，左序列是指x(n)只在n≤n1序列值不全为零，在其他的区间均为零的序列。左序列的Z变换为式中，n1≥0。回到本节返回上式右边：第一项的收敛域为0≤

15、z

16、

17、z

18、≤∞，将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0<

19、z

20、

21、<0，则收敛域为0≤

22、z

23、

24、z

25、

26、z

27、≤∞，将两个域相与，得到双边序列的收敛域为Rx-<

28、z

29、

30、3进行比较，两者Z变换的函数表达式一样，但收敛域却不相同，对应的原序列也不同，因此正确地确定收敛域是很重要。回到本节返回2.3.3逆Z变换已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列，称为逆Z变换(IZT)。求逆Z变换有三种方法:部分分式展开法：有理分式展成简单部分分式，查表。围线积分法：常用方法，重点介绍幂级数法：原理简单，使用不便，本书不介绍回到本节返回部分分式法原理是将Z变换的有理分式展成简单的部分分式，通过查表得到原序列。假设X(z)有一个一阶极点，可展开如下的部分分式：观察上式，X(z)/z在z=0的极点，留数等于系数A0，在z=zm的极点，留数等于系数Am，即回到本节返回这样，将上面的两式

31、带入由X(z)展开得到的部分分式中去，在通过查表（书中表2.3.2）就能够得到原序列。但我们知道收敛域不同，即使同一个z函数也可以有不同的原序列对应，因此根据给定的收敛域，应正确地确定每个分式的收敛域，这样才能得到正确的原序列。回到本节返回围线积分法已知序列大的Z变换和收敛域，求原序列的公式为式中，c是X(z)的收敛域中的一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线，如下图所示。回到本节返回直接计算围线积分