数字信号处理（西电版第三版）第2章时域离散系统与系统的频域分析

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1、第2章　时域离散信号和系统的频域分析2.1引　　言2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频响特性习题与上机题2.1引　言我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(FourierTransform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系统则用

2、差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。2.2时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质时域离散信号不同于模拟信号，因此它们的傅里叶变换不相同，但都是线性变换，一些性质是相同的。2.2.1时域离散信号傅里叶变换的定义序列x(n)的傅里叶变换定义为（2.2.1）FT为FourierTransform的缩写。FT［x(n)］存在的充分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：（2.2.2）X(ejω)的傅里叶反变换为（2.2.

3、3）（2.2.1）和（2.2.3）式组成一对傅里叶变换公式。（2.2.2）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些函数（例如周期序列）并不满足（2.2.2）式，说明它的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内容将在2.3节介绍。【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。解（2.2.4）当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2时域离散信号傅里叶变换的性质1．FT的周期性在定义（2.2.1）式中，n取整数，因此下式成立：(2.

4、2.5)观察上式，得到傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这一特点不同于模拟信号的傅里叶变换。Ｍ为整数由FT的周期性进一步分析得到，在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在ω=0，±2π,±4π,点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2π为周期，那么最高的频率应是ω=π。另外要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosωm，当ω=2πM,M取整数时，x(n)的序列值如图2.2.2（a）所示，它代表一个不随n变化的信号（直流信号）；当ω=(2M+1)π时，x(n)

5、波形如图2.2.2（b）所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。由于FT的周期是2π，一般只分析－π~＋π之间或0~2π范围的FT就够了。图2.2.2cosωm的波形2．线性设X1(ejω)=FT［x1(n)］,X2(ejω)=FT［x2(n)］,那么(2.2.6)式中,a，b是常数。3．时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］,那么(2.2.7)(2.2.8)4．FT的对称性在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称，以及它的性质。设序列xe(n)满足下式：（2.2.9）则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质

6、，将xe(n)用其实部与虚部表示：将上式两边n用－n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，因左边相等，因此得到：（2.2.10）（2.2.11）上面两式表明共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的共轭反对称序列：（2.2.12）将xo(n)表示成实部与虚部，如下式：可以得到：（2.2.13）（2.2.14）即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。【例2.2.2】试分析x(n)=ejωm的对称性。解因为x*(－n)=ejωm=x(n)满足(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到：x(n)=cosω

7、n+jsinωn上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即（2.2.15）式中，xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将（2.2.15）式中的n用－n代替，再取共轭,得到：（2.2.16）利用（2.2.15）和（2.2.16）式，得到：（2.2.17）（2.2.18）利用上面两式，可以用x(n)分别求出xe(n)和xo(n)。对于频域函数X(ejω)，也有和上面类似的概念和结论：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)（2.2.19）式中，Xe(ejω)与Xo(ej