第三章《概率论与数理统计教程》课件

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1、第三章随机变量的数字特征《概率论与数理统计教程》（第四版）高等教育出版社沈恒范著大纲要求§3.1数学期望§3.2随机变量函数的数学期望§3.3关于数学期望的定理§3.4方差与标准差§3.5某些常用分布的数学期望及方差§3.6原点矩与中心矩§3.7协方差与相关系数§3.8切比雪夫不等式与大数定律学习内容§3.1数学期望离散随机变量的数学期望连续随机变量的数学期望二维随机变量的数学期望若级数绝对收敛，即则称级数为X的数学期望,记为E(X).X记作设X是离散随机变量，其概率函数为离散随机变量的数学期望解:计算X1

2、的数学期望,由定义有E(X1)例1.甲,乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的概率分布表分别为:X1012X2012P(xk)00.20.8p(xk)0.60.30.1试评定他们的成绩好坏.而乙的得分为=00+10.2+20.8=1.8(如甲进行很多次射击,其得分的平均分为1.8)E(X2)=00.6+10.3+20.1=0.5显然,乙的成绩比甲的差.设X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），如果积分绝对收敛，即则积分为随机变量X的数学期望，记作连续随机变量的数学期望例2设随机变量

3、X的概率密度为求X的数学期望。例3设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为求X的数学期望。二维随机变量的数学期望离散r.v.连续r.v.§3.2随机变量函数的数学期望离散r.v.的函数的数学期望连续r.v.的函数的数学期望是X的函数，它的取值为则有（2）设X是连续随机变量，其密度函数为又是X的函数，则（1）设X是离散随机变量，其概率函数为例2设随机变量X的概率密度为求Y=2X＋1的数学期望。例1一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显

4、示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数,求X的概率分布与。例3游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：已知，其概率密度为设随机变量Y是游客等候电梯的时间，则则随机变量Y的数学期望为§3.3关于数学期望的定理定理1E(c)=c;其中c是常数；定理2E(aX)=aE(X);定理3E(X+Y)=E(X)+E(Y)；定理4注意：E(X-Y)

5、=?定理5两个独立随机变量X，Y，则定理6有限个独立随机变量，则例1某保险公司规定，如果一年内，顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿a元，若一年内事件A发生的概率为P，为使公司收益的期望值等于a的10%，该公司应该要求顾客交多少保险费？§3.4方差与标准差方差、标准差的定义方差的计算公式方差的性质定理(1)设X为随机变量,E(X)存在,称X-E(X)为离差;显然,E[X-E(X)]=0(2)设X为随机变量,E(X)存在,且E{[X-E(X)]2}存在,则称此数学期望为X的方差,记为:D(X)=E{[X-E(X

6、)]2}(3)为X的标准差或均方差.注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.方差、标准差的定义定义:方差的计算公式方差的性质定理(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=D(X)(4)D(aX+b)=a2D(X)(5)两个独立随机变量(6)有限个独立随机变量注意：若相互独立，课堂练习1.设X~,求下列X的函数的数学期望.(1)2X-1,(2)(X-2)23.随机变量X只取-1,0,1三个值,且相应概率比为1:2:2,又Y=X2,求(1)E(X),(2)D(X),(3)E(Y

7、),(4)D(Y)。2.设X~,求E(X),D(X).4.X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（）。§3.5某些常用分布的数学期望及方差（1）若则（2）若则（3）若则（4）若则（5）若则（6）若则1设随机变量X~P(2),则E(X)=(),D(X)=(),E(X2)=()2若随机变量X~B(n,p),已知E(X)=2.4，D(X)=1.44,则n=(),p=()例题3若随机变量X~U(a,b),已知E(X)=2.4，D(X)=3,则a=(),b=()§3.6原点矩与中心矩若E(Xk),

8、k=1,2,…存在,则称它为X的k阶原点矩.记作(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,则称它为X的k阶中心矩.记作特别：k=1时，特别：k=1时，k=2时，§3.7协方差（相关矩）与相关系数离散r.v.连续r.v.注：相关矩描述随机变量之间的相关性；相关矩的性质3.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);4.Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y),其中a1,a2,b1,b2是常