资源描述：
《2018年全国各地高考数学一题多解：2017年高考数学一题多解——全国II卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、全国II卷【理数10题】已知直三棱柱ABC—AQG屮，ZABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB】与BQ所成角的余弦值为（）百•半C.f【答案】C【考点】线面角解法一：补形法：将原几何体补成四棱柱ABCD-A^D,，则所求角为ZBC1D-BCl=^&D=j22+l—2x2xlxcos60°=的，00=為=屈因此cos厶3（片0=咅=罟，故本题答案为C.解法二：向量法：取空间向量的一组基底为BA,BC,BB}],则刁瓦=厕-丽,eq=BC+Cq易知
2、码二厉，
3、呢卜VL码西=（画-丽）・（就+丽>两反+网「-页祝-丽两=2,所以异面直线AB
4、与
5、BG所成角的余眩值为cos=AB、•BC
6、AB.•苑島=学故本题答案为C.解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC的方向为兀轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系,则B{（0,0,1）,4（巧,一1,0）,苑二（0,1,1）,刁瓦=（-73,1,1）,所以异面直线AB】与BG所成角的余弦值cos0=AB{BC}_1+1_V10AB,•BC.妊VT丁’故本题答案为°【理数12题】已知AAfiC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA（PB+PC）的最小值是A.-2C.--D.-13【答案】【考点】平面向量的坐标运算、函数的最值【分析】平
7、血向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平血向量的几何意义将问题转化为平面儿何屮的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向暈的坐标运算，把问题转化为代数屮的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.【解析】解法一：坐标法：MC为兀轴，BC的垂直平分线Q为y轴，D为坐标原点建立坐标，则观孙0(70)，C(L0),设尺兀巧，所以PA=(-x^-y)?PB=(-l-x-y)fPC=(l-x-y)所以PB+PC=(-2xa-2y),PJ(PB+PC)=2j?-2X^
8、-J)=2x2+2(y-当旳£）时，所求的最小值为-斗,故选B解法二极化恒等式：収BC的屮点为则~PB+~PC=2PM,于是PA（1^^PC）=2PAPM,根据极化恒等式对得用加=£［（用+加尸―（用_丽）2］=*［（2顾尸―（血产—233=PN—一>—一，故选B.44解法三：代数法：如图所示，若PA（PB-^-PC）収最小值，则用与PB+PC反向共线，即点P位于MBC的屮线上，屮线长为JF匚7=能，设网PA(PB+PC)=-PA-~PB+~PC=-x-2(V3-x)=2x2-2V3x；PB+Pc
9、=2(V3-x),因此=x,贝ijPB+PC当x=—时，PA(P
10、B+PC)取得最小值，此时，PA-(PB+PC)=-2
11、PA
12、2=-2x(—)2222【理数24题】己知a>O,b>O,a'+戻=2，证明：(1)(°+/?)(/+/?')»4；(2)a+b<2.【考点】不等式性质的应用【解析】解法一：(1)配方法：展幵所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论；(o+b)+/)=/+妙'+/方+沪=(/+戻尸一血戻+ab(a4+/)=4+嗽；-b2)1>4(2)均值不等式：利用均值不等式的结论结合题意证得@+方『<8,即可得出结论.(日+b)」=ci+3a2b+3ab2+b}=2+3ab(d+b)所以<8,因此a+bW2.解
13、法二：(1)同解法1；分析法：因为a>O,b>0,要证明a+b§2,只需证明(67+/?)3<8,即证明^+3^+3^2+/?3<8,只需证明a2b+cib2<2,因为/+夕=2,上式等价于ci2b+ab2-a^b3<0，也即a2(b-a)+ba-b)<0,即(a2-b2)(b-a)=-(a-b)2(^+&)<0,因为。>0上>0,上式显然成立，所以结论成立，即a+b<2.解法三：(1)柯西不等式由柯西不等式可得：(a+h)(a5+/)»(J：•仃+丽.J歹)=(673+/?3)2>4,当且仅当丁莎=丁庐，即a=b=1时取等号，所以(d+b)(/+Z/)n4,
14、原问题得证.(2)同解法1.【文数11题】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片小随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110c,To【答案】D【考点】古典概型【解析】解法一：图表法：根据题意，写出基本事件空间，如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵102坐标表示第二次収到的数总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为竺,本题选D.255123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3
15、,4)(3,5)4(4,
