专题04根与系数关系

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1、专题04根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1.求方程中字母系数的值或取值范圉；2.求代数式的值；3.结合根的判别式，判断根的符号特征；4.构造一元二次方程；5.证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基木思路,需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根

2、与系数的关系解题时，必须满足判别式△$().例题与求解【例1】设关于兀的二次方程(m2-4)x2+(2m-l)x+l=0(其中加为实数)的两个实数根的倒数和为s,则s的取值范围是.【例2】如果方程(x-l)(x2-2x+m)=0的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数加的取值范围是.3C.—

3、，求代数式匕1+口的值;3无+2y+z=a(2)关于x,y,z的方程组｛7/有实数解(x,y,z),求正实数q的最小值；兀y+2yz+3zx=6(3)已知兀,y均为实数,且满足与+x+y=17,x2y+xy2=66,求x4+x^y+x2y2+xy3+y4的值.【例6】a,b,c为实数，acvO,Hf2a+[3b+=0,证明一元二次方程ar，+bx+c=0有大于能力训练1.已知加，/?为有理数，且方程x1+mx+n=0有一个根是亦一2,那么m+/?=2.己知关于兀的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则加的值为.3.当加二时，关于兀的方程8x2-(2m2+m-

4、6)x+2m-l=0的两根互为相反数；的方程3x2+2x+加—8=0有两个大于一2的根.4.对于一切不小于2的自然数斤・关于兀的一元二次方程x2-（n-^-2）x-2n2=0的两根记为陽2)则@_2)(0_2)+q_2)(勺_2)+…+(如)7_2)(切)7_2)5.设西是方程#一2伙+1）兀+伙？+2）=0的两个实根，且（丙+1）（兀+1）=8，则a的值为（）A.-3或C.1D.丄的一切实数26.设心兀2是关于％的一元二次方程x2+x+n-2=mx的两个实数根,且兀i<0,x2-3^,<0,则m>1A・n>2B.f>]<2m

5、^+2x-k=0的两个不等的实数根，则器+璟一2是（）A.正数B.零C.负数D.不大于零的数8.如图，菱形ABCD的边长是5,两对角线交于O点，且AO,BO的长分别是关于兀的方程兀？+（2加一l）x+加2+3=0的根，那么加的值是（）A.-3B.5C.5或—3D.-5或39.已知关于兀的方程：xm-2）x一一=0.4（1）求证：无论加収什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是召,兀2，且满足

6、x2

7、=

8、xJ+2,求加的值及相应的xl9x2.10.己知若,兀2是关于兀的一元二次方程匕2+4尢-3=0的两个不相等的实数根.(1)求£的取值范围；3(2

9、)是否存在这样的实数比，使2石+2忑-一=2成立？若存在，求R的值；若不存在，说明理%!Jr2由.11.如图，己知在△ABC中，ZACB=90°,过C点作CDLAB于D,设AD=加，BD=“,且AC2：BC2=2…又关于兀的方程护-2(—2」2=。两实数根的差的平方小于叽求整如、〃的值.12.已知w是正整数，关于兀的方程X2-mnx+(m+n)=0有正整数解，求w的值.B级1.设西，九是二次方程F+x—3二0的两根，则帚一4^+19=.2.己知ab=,且有5^+199567+8=0及8戻+1995/?+5=0则纟=b3.已知关于兀的一元二次方程#_6兀+a+l=0的两个实

10、数根是xpx2,且西2+花2=24,则1.己知西,兀2是关于兀的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根，则(x,-2x2)(%2-2%,)的最大值为.2.如果方程x2+px+l=O(p>0)的两根之差为1,那么p等于()A.2B.4C.V3D.V56.已知关于兀的一元二次方程x2-mx+2m-=0的两个实数根分别是xpx2,11<+%22=7，则(x)-x2)2的值是()A.1B.12C・13D.257.在RfWBC中，ZC=90°,ci、b、c分别是ZA、ZB、ZC的对边，a、b是关于x的方程兀2_7尢+c