三角函数概念和公式

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1、常见三角函数在平面直角坐标系xOy+，从点0引出一条射线OP,设旋转角为0，设OP=r,P点、的坐标为（兀尹）.可定义以下六种运算方法：基本函数英文表达式基本函数英文表达式正眩sinesin&=±F余切cotangentcot^=—y余弦cosineCOS&=Xr正割secantrsec&=X正切tangenttan^=—余割cosecantCSC^=—y单位圆定义根据勾股定理，单位圆的方程是：x2+y2=f所以有sin0=y和cos&=x.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一

2、种查看无限个三角形的方式.对于大于2兀或小于等于2兀的角度，可直接继续绕单位圆旋转.在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2tt的周期函数：对于任何角度0和任何整数k.周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”.正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2兀弧度或360°；止切或余切的基本周期是半圆，也就是兀弧度或180。.在正切函数的图象屮，在角刼附近变化缓慢，而在接近角伙+”兀的时候变化迅速.正切函数的图象在0=伙+-）71有垂直渐近线.这是因为在3从左侧接近伙+丄）兀的时候函数接近正无穷，而从右

3、侧接近伙+丄）兀的时候函数接近负无穷.2另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆來定义，类似于历史上使用的儿何定义.特别是，对于这个圆的弦力伙这里的&是对向角的一半，sin。是AC（半弦）,这是印度的阿耶波多介入的定义.cos&是水平距离OC,是通过/的切线的线段/E的长度，所以这个函数才叫正切.cot。是另一个切线段力F.sec0=6>E和csc&=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作04沿着/的切线分别向水平和垂直轴的投影.通过这些构造，容易看出正割和正切函数在〃接近申的时候发散，

4、而余割和余切在&接近零的时候发散.设角。为锐角，英所冇三角函数在儿何上可以依据以O点为圆心的单位圆來构造•如图.独立三角学的产生虽然后期的阿拉伯数学家己经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学•真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯.雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的徳国数学家约翰•谬勒的笔名.他生于哥尼斯堡,年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版

5、古希腊和阿拉伯著作.因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解.1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》.在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支.现代三角学的确认直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌.三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值.这方面的工作是由欧拉作出的.

6、1748年，欧拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指岀：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”.具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线加后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值.若令半径为单位2,那么所有的六个三角函数乂可大为简化.欧拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.正如欧

7、拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算.一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出.这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了.严格地说，这时才是三角学的真正确立.“弦表”问世根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形,然后一一量出/C,/C,……之问的距离.然而，第张弦表制作者希腊文学家希帕克（Hipparchus,约前180〜前125）不是这样做，他采用的是

8、在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧所对应的弦的长.这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处.希帕克的原著早已失传，现在我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希肥•著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的.虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造.据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦比他们采用了巴比伦人的60进位法.把圆周360等分，把它的半