5、负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,所以有sinθ = y/1和cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于2π或小于等于2π的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余
6、弦、正割或余割的基本周期是全圆,也就是2π弧度或360°;正切或余切的基本周期是半圆,也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。 其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中,在角 kπ附近变化缓慢,而在接近角(k +1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k +1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k +1/2)π的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k +1/2)π的时候函数接近负无穷. 三角函数另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的
8、些构造,容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散,而余割和余切在θ接近零的时候发散。级数定义 只使用几何和极限的性质,可以证明正弦的导数是余弦,余弦的导数是负的正弦。(在微积分中,所有角度都以弧度来度量)。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立: 这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定