三角函数概念、公式

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1、三角函数三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。定义如右图，当平面

2、上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对于AB与AC的夹角∠BAC而言：  Rt△ABC对边（opposite）a=BC　　斜边（hypotenuse）h=AB邻边（adjacent）b=AC基本函数英文缩写表达式语言描述正弦函数Sinesina/h∠A的对边比斜边余弦函数Cosinecosb/h∠A的邻边比斜边正切函数Tangenttana/b∠A的对边比邻边余切函数Cotangentcotb/a∠A的邻边比对边正割函数Secantsech/b∠A的斜边比邻边余割函数Co

3、secantcsch/a∠A的斜边比对边　注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。罕见三角函数　　除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：  versin函数名与常见函数转化关系正矢函数versinθ=1-cosθvercosinθ=1+cosθ余矢函数coversinθ=1-sinθcovercosinθ=1+sinθ半正矢函数haversinθ=(1-cosθ)/2havercosinθ=(1+cosθ)/2半余矢函数hacoversinθ=(1-sinθ)/2hacovercosinθ

4、=(1+sinθ)/2外正割函数exsecθ=secθ-1外余割函数excscθ=cscθ-1单位圆定义　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，  三角函数单位圆的方程是：x2+y2=1　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是

5、负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ = y/1和cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。对于大于2π或小于等于2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余

6、弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。  其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角 kπ附近变化缓慢，而在接近角(k +1/2)π的时候变化迅速。正切函数的图像在θ=(k +1/2)π有垂直渐近线。这是因为在θ从左侧接进(k +1/2)π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近(k +1/2)π的时候函数接近负无穷．  三角函数另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的

7、单位圆来定　　义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的θ是对向角的一半，sin θ 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ 是水平距离 OC，versin θ =1-cosθ 是CD。tanθ是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ 是另一个切线段 AF。secθ =OE 和cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是exsecθ =secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这

8、些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。级数定义　　只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：　　  这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定