《数学建模公选课课件》层次分析法

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1、层次分析法一AHP简介(TheAnalgticHierarachyProcess——AHP)冃=最定化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在放优化技术中占着统治地位；由于系统越來复杂，数学模型也越來越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素无法定量表示,所以，有吋人们不得不回到决策的起点和终点：——人的选择和判断,需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年代初由Saaty

2、的学生介绍到我国。层次分析AHP的特点：1.输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的认识；2.简洁性：基于高屮知识，可不用计算机完成计算；3.实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析；4.系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系统属于第三种，真止要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用，并不过多涉及AHP的数学背景。AHP的主要不足在于：1.AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断

3、矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即可能造成决策失误。规划论——采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度;但有些决策结果令决策人难以接受。AHP——从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断，当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲吋，AHP的结果显然靠不住，所以，AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用屮也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。重量模型设绚,况2,…，叫为兀个物体，重量分别

4、是g

5、,g2,…，g“。但是，我们并不知道物体的重量，只知两两之间重量比的比值：aij=Si/gj设准则C为重量，问题是：已知ai}(1

6、•■g2••••g”■•■••Sn■Snw82(1)/>°(2)a1..二——JQj•(3)4i•Qjk=aik显然勺满足(1)(2)：A=(2)的人为正互反矩阵；满但是，(3)式通常不被满足，满足(1)、足(1)、(2)并且(3)也成立时的仏)称为一致性判断矩阵。问题是:已知判断矩

7、阵A,在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，a..-—是，g(•,g•是重量的精确值，此吋(3)式必定成g.立，即A是一致:性矩阵。令g=(g

8、

9、「离斤不远，这时几“对应的特征向量虽然不会是〃个物体的真实重量裁仏,g2,…,g），但是，变动也不会太大。我们设想：如果扰动不大，则也离〃就不远，此时/U对应的特征向量Q与g差不多，如果以不改变g的各分量的大小次序，则g侗样给出〃个物体Z…叫按重量大小的真实排序。这样，对不满足一致性的正互反矩阵A=（勺），"”，我们求其最大特征根九『再求与入喰对应的特征向量g，则可按g对H个物体均上2,…，知按重量大小排序。但是，这一蒂理论有几个疑点：①当A不满足一致性时，力还有没有最大正的特征根；②既使力有最大特征根，那么，这个最大特征根九舔对

10、应的特征向量的全部分量能否还是正数？因为，该特征向量的各个分量对应的是n个物体的相对重量（特征向量乘一个非零常数仍是特征向量）。因为矩阵代数中Perro一Frobineus理论明确地冋答了这个问题。Perro-Frobineus定理：1.正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征向量是唯一的。（证明略）Perron定理明白地告诉我们，对正的互反矩阵A,既使它不满足一致性，也一定存在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，

11、并且“归一化”后是帷一的。但是，我们能否按这个“归一化”后是帷一的特征向量对n个物休按重量人小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大特征根/L产〃对应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简直难于