微观经济学中的数学方法

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1、微观经济学中的数学方法论文题目：拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用学生姓名拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用摘要：拉格朗H乘数法在经济研究中应用越来越广泛,推动了经济学的快速发展。本文介绍拉格阴日乘数法，并结合实例，对拉格朗日乘数法在经济最优化中的应用进行探讨与研究。关键词：拉格朗日乘数法；经济；最优化—、引言在考虑函数的极值问题时，有时会对函数的自变量附加一些限定的条件。例如，求圆f(x,y)=x2^y2错误!未找到引用源。在双曲线卩=3Z间最大值，就是/(xj)在限制条件g(x,刃二卩=3下的最大值，这就是条件极值⑷。对于等式约束条件下的求解

2、极值，结合等式约束下取得最优解的条件，我们一般采用构造拉格朗日函数⑵，使等式约束条件下的求解极值变成无约束求解极值⑶，这样就有利于我们的目标能顺利的进行。于是，就引入了拉格朗日数乘法，用这种方法来求条件极值点。拉格朗FI数乘法是数学分析中的一种基本的数学方法，拉格朗FI数乘法对解决条件极值问题有很重要的现实意义。由于科学技术的发展，计算机的普及，拉格朗曰数乘数法的应用越来越广泛⑷，特别是在经济学最优化应用当中，如效用最大化、成木最小化等，都需要运用拉格朗日乘数法。二、拉格朗日乘数法定义：求冃标函数z=/(x』)在附加条件0(兀』)=0下的可能极值

3、点，假设拉格朗日函数，L(x,y)=r(x』)+/l0(兀』),其中A拉格朗日乘子，得到最优化条条:"丫"=Z（兀,7）+入叭（x,y）=oOX"舟"=fy（X，y）+^（Py（X,尹）=0o/t整理方程组，得到就是函数/(兀丿)件=0下的可能极值点。将拉格朗口函数拓展到一般形式。我们可以构造拉格朗口函数111同济大学数学系.高等数学下册[M].第六版.北京:高等教育出版社，2007.121赵春森，李佩敬.利用广义拉格朗日方法进行冇效的历史拟合和最优化生产[J].国外油田工程，2008,24⑹:9-15.⑶杨廷鸿，林琼，但琦，付诗禄.条件极值与矩

4、阵特征值的结合[J].高等数学研究，2012,15(4):31-35.⑷吴造林.拉格朗日乘子法在信息论中的应用[J].科技情报开发与经济，200&18(23):108-109.加L(x,2)=/(x)-Y/iSiW，/=!兄=(人，易，・••，&“)•则极值点就在方程组(2.1)(2.1)[

5、4-»r=0VUX0Xy_

6、dxg/=O.k=1,2,...,/?;/=的所有解(x,A)对应的点兀中[5]o三、拉格朗日乘数法在经济学中的应用（一）最佳消费束假设（P4来表示某两类货物的价格，加来表示消费者愿意付岀的货币数额，（曲,兀2）来表示消费者的消费

7、束，则消费者的预算约束可以为pxxx^p2x2

8、+p2x2-m）,其中久是拉格朗日乘子。得到最优化条件：151陈纪修，於崇华，金路.数学分析下册[W.第二版.北京:高等教育出版社，2008⑹哈尔・R.范里安.微观经济学：现代观点[M].第八版.上海:格致出版社，上海三联书店，上海人民出版社,2011.二如

9、^_如03X]du(X]，xJ二J人少2=0・斗卩+*2卩2_加=0通过联立方程组，得最优选择（X：,X；）・例：设某人对某两种产品的需求量分别是西和花，若该人的偏好满足柯布-道格拉斯效用函数。假定这两种产品的价格分别为卩和〃2,试问：当消费者消费预算为加时，消费者选择什么样的组合才能达到最优效用，求解柯布-道格拉斯效用函数在预算约束的条件下消费者的最佳效用，即消费者从他们的预算集选择最偏好的消费束。柯布-道格拉斯效用函数Z/(X1,X2)=XjX2(5.1)（其中c和〃都是描述消费者偏好的止数，c+〃=l）是一种普遍使用的效用函数。解：对方程（

10、5.1）左右两边取对数，得In%(兀[，兀2)二clnX]+JInx2(5.2)假设拉格阴日函数L=cIn兀[+〃In兀2一久(Px+Pixi_m)(5.3)然后对方程（5.3）进行求和兀2池的偏导，并令偏导为零，得到以下条件:字=£-如i=oBLdQ==Z^2=0ox2x2dL-=x]p]+x2p2-m=0分別对式一和式二整理得:(5.4)将方程(5.4)和方程(5.5)代入式三，得整理后，得(5.6)怜cm£=c+dp、dmc+dp2所以，(兀：,兀；)就是消费者的最佳消费束。(-)最优价格在计算机工具不断发展、计算范围不断扩大的今天，用

11、拉格朗日数乘法处理生产、经营上的问题已越来越广泛，深受企业管理者的高度重视。例：经济学中最优价格的模型內7】设成都一间制药厂生产某一拍照