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《维纳滤波和卡尔曼滤波数字信号处理-时域离散随机信号处理教学课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.3离散维纳滤波器的z域解2.4维纳预测2.5卡尔曼(Kalman)滤波2.1引言在生产实践中，我们所观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，我们只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和（如图2.1.1所示）,即x(n)=s(n)+v(n)（2.1.1）我们的目的是为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响
2、应为h(n)（如图2.1.2所示），系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为yd(n)=s(n)，y(n)=。因此对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说,信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。所得到的估计，在通信中称为波形估计;在自动控制中，称为动态估计。图2.1.1观测信号的组成图2.1.2信号处理的一般模型假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估计当前及以后时
3、刻的信号值s(n+N),N≥0，这样的估计问题称为预测问题；若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估计当前的信号值s(n)，称为过滤或滤波；根据过去的观测值x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，估计过去的信号值s(n-N),N≥1，称为平滑或内插。维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤或预测问题,并以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最佳准则。^^维纳滤波是在第二次世界大战期间，由于军事的需要由维纳提出的。1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方
4、法。维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的，因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出y(n),n=0,1,2,…（2.2.2）设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［
5、e(n)
6、2］分别为e(n)=d(n)-y(n
7、)=s(n)-y(n)（2.2.３）（2.2.４）要使均方误差为最小，须满足（2.2.5）这里，hj表示h(j);同理，可以用aj，bj分别表示a(j)，b(j)。由于误差的均方值是一标量，因此（2.2.5）式是一个标量对复函数的求导问题，它等价于j=0,1,2,…（2.2.6）记j=0,1,2,…（2.2.７）则（2.2.6）式可以写为（2.2.8）将（2.2.8）式展开（2.2.9）又根据（2.2.1）~(2.2.3)式将（2.2.10）～（2.2.13）式代入（2.2.9）式，得（2.2.14)因此E［x*(n-j)e(n)］=0j=0,1,2,…（2.2.15）上式说明，均方误差达到
8、最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。它的重要意义在于提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。下面计算输出信号与误差信号的互相关函数(2.2.16)假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到(2.2.17)图2.2.1期望信号、估计值与误差信号的几何关系图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号，即注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来
9、看，假定输入信号和期望信号都是零均值,应用正交性原理,则,因此在滤波器处于最佳状态时，估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。2.2.2维纳—霍夫方程将（2.2.15）式展开，可以得到将输入信号分配进去，得到k=0,1,2,…对上式两边取共轭，利用相关函数的性质:ryx(-k)=r*xy(k),得到k=0,1,2,…(2.2.20)(2.2.20)式称为维纳-霍夫（Wiener－Hopf）方程。当h(n)是一
