[PPT课件]现代信号处理-维纳和卡尔曼滤波

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1、维纳滤波和卡尔曼滤波2.1引言2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.3离散维纳滤波器的z域解2.4维纳预测2.5卡尔曼(Kalman)滤波2.1引言在生产实践中，观测到的信号都是受到噪声干扰的。如何最大限度地抑制噪声，并将有用信号分离出来，是信号处理中经常遇到的问题。换句话说，信号处理的目的就是要得到不受干扰影响的真正信号。相应的处理系统称为滤波器。这里，只考虑加性噪声的影响，即观测数据x(n)是信号s(n)与噪声v(n)之和（如图2.1.1所示）,即x(n)=s(n)+v(n)（2.1.1）图2.1.1观

2、测信号的组成2.1引言2.1引言为了得到不含噪声的信号s(n)，也称为期望信号，若滤波系统的单位脉冲响应为h(n)（如图2.1.2所示），系统的期望输出用yd(n)表示，yd(n)应等于信号的真值s(n)；系统的实际输出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估计，用公式表示为yd(n)=s(n)，y(n)=。因此对信号x(n)进行处理，可以看成是对期望信号的估计，这样可以将h(n)看作是一个估计器，也就是说,信号处理的目的是要得到信号的一个最佳估计。那么，采用不同的最佳准则，估计得到的结果可能不同。图2.

3、1.2信号处理的一般模型2.1引言假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估计当前及以后时刻的信号值,N≥0，这样的估计问题称为预测问题；若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估计当前的信号值，称为过滤或滤波；根据过去的观测值x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，估计过去的信号值,N≥1，称为平滑或内插。2.1引言维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号的过滤或预测问题,并以估计的结果与信号真值之间的误差的均方值最小作为最

4、佳准则。维纳滤波器的求解，要求知道随机信号的统计分布规律（自相关函数或功率谱密度），得到的结果是封闭公式；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一维平稳随机信号，这是由于采用频域设计法所造成的。2.1引言1950年，伯特和香农给出了当信号的功率谱为有理谱时，由功率谱直接求取维纳滤波器传输函数的设计方法。采用谱分解的方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概念清楚。因此人们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。2.1引言^2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法根据线性系统的

5、基本理论，并考虑到系统的因果性，可以得到滤波器的输出y(n),n=0,1,2,…（2.2.2）2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法设期望信号为　　，误差信号　　　及其均方值分别为：（2.2.３）（2.2.４）2.2.1维纳滤波器时域求解的方法要使均方误差为最小，须满足因此，上式说明，均方误差达到最小值的充要条件是误差信号与任一进入估计的输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。（2.2.5）2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法它的重要意义在于

6、提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最佳状态。下面计算输出信号与误差信号的互相关函数(2.2.6)2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n)的误差为eopt(n)，把（2.2.5）式代入上式，得到(2.2.7)图2.2.1期望信号、估计值与误差信号的几何关系2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.1维纳滤波器时域求解的方法图2.2.1表明在滤波器处于最佳工作状态时，估计值加上估计偏差等于期望信号

7、，即注意我们所研究的是随机信号，图2.2.1中各矢量的几何表示应理解为相应量的统计平均或者是数学期望。再从能量的角度来看，假定输入信号和期望信号都是零均值,应用正交性原理,则,因此在滤波器处于最佳状态时，估计值的能量总是小于等于期望信号的能量。2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.2维纳—霍夫方程将（2.2.5）式展开，可以得到将输入信号分配进去，得到k=0,1,2,…2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.2维纳—霍夫方程对上式两边取共轭，利用相关函数的性质:得到：上式称为维纳-霍夫（Wiener

8、－Hopf）方程。当h(n)是一个长度为M的因果序列(即h(n)是一个长度为M的FIR滤波器)时，维纳-霍夫方程表述为k=0,1,2,…（2.2.8）2.2维纳滤波器的离散形式——时域解2.2.2维纳—霍夫方程把k的取值代入(2.2.9)式，得到：当k=0时，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0)k=1时，h1rxx(1)+h2rxx(0)+…+hMrxx(M-