100测评网高一数学复习第八节导数的概念与运算

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1、第八节导数的概念与运算【热点聚焦】导数是高屮数学的一个重要内容，导数的木身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的证明问题和方程根的判断问题，还是解决Illi线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，所以在最近几年的高考试题中，对导数的考查逐步加强，从题量和题冃的难度上都冇了很大的提高，在全国各地的高考试卷中都冇关于导数的试题。对导数的考查形式是多种多样，难易均有，可以在选择题与填空题屮出现，主要考查导数的运算、导数的儿何意义，导数的应用（主要研究函数的单调性、极值与最值等）；也可以在解答题中出现，有吋候作为压轴题，这时主要考查导数的综合应用，往往与

2、函数、方程、数列、解析儿何等联系在一起。【基础知识】1JIJ定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变3A.V;（2）求平均变化率生；（3）取极限，得导数广（x0）=lim0.AxdTO心2.导数的几何意义和物理意义儿何意义：曲线/（x）在某一点（也，旳）处的导数是过点（也，旳）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是尸S（/）,在点P（io,S（G）处导数的意义是戶/0处的瞬时速度.3・常见基本初等函数的导数公式和常川导数运算公式：C'=0（C为常数）;（xny=nxn~x,nCN'；（sinx/=cosx；（cosx）'=-sinx;（exy=ex-（axy=axa;（ln

3、x）*=丄；（logflxy=-ogae.xx法则i/（兀）土g（x）[=f⑴土g'（x）.（和与差的导数等于导数的和与差）法则2.[/⑴g（Q]'=/'（x）gS）+/（Qg©）（前导后不导，后导前不导，中间是加号）法则3[筒了=广（力豊乙⑴/（X）曲）工o）（分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是减号）4.在对导数的概念进行理解时，特别要注意广（心）与（/do））'是不一样的，广仇）代表函数门对在x=x0处的导数值，不一定为0；而（/（x0）y是函数值/do）的导数，而函数值/do）是一个常量，其导数一定为o,即(/(x0)y=o0【课前训练】1.(2006年四川卷

4、)曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是()(D)y=x-2(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-42.

5、11

6、线歹=/的切线屮斜率等于1的直线A.不存在B.存在，有且仅有一条C.存在，有且恰有两条D.存在，但条数不确定3.曲线在点P。处的切线平行于直线y=4x—1,则P。的坐标是()A.(l,0)B.(l,0)或(-1,-4)C.(-l,0)或(一1,一4)D.(-l,-4)4.某物体的运动方程为s(t)=5t2(位移单位:加，时间单位:5),则它在r=2s时的速度为—・5.两曲线y=x2+l与尸3—/在交点处的两切线的夹角的正切值是.【试题精析】【例1

7、】曲线y=~x2+4x上有两点A(4,0)、B(2,4).求：(1)割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；(2)在曲线上是否存在点C,使过C点的切线与所在直线平行?若存在，求出C点的处标；若不存在，请说明理由.【例2】已知函数y=—在兀=兀()处的导数值与函数值互为相反数，求兀°的值。［剖析］可先求出函数y二◎的导函数，然后根据条件建立关于心的方程进行求解.［评注］导数的运算是导数应用的前提，因步应熟练掌握导数的运算法则以及常见函数的求导公式，近几年的高考试题中，对于y=ey=x等函数导数的考査较为频繁，因此应掌握与这两个函数有关的导数运算.14【例3】已知曲线y=-x

8、3+-.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程。［剖析］“该曲线过点P(2,4)的切线”与“该曲线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的：过点P(2,4)的切线屮，点P(2,4)不一定是切点；在点P(2,4)处的切线屮，点P(2,4)是切点。［评注］(1)求函数、f(x)图象上点P(x0,/(x0))处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k,由导数的几何意义知R=广(兀。)，故当广(石存在时，切线方程为y-/U0)=ru0)(x-x0).求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“点P处的切线”的差异.过点P的切线中，点P不一定是切点，点

9、P也不一定在已知曲线上；点P处的切线，点P是切点。(2)要准确理解曲线切线的概念，①如宜线打曲线公共点的个数不是切线的木质特征，一方面，直线与1111线只仃一个公共点肓砸1111线的切线，例如：抛物线的对称轴与其抛物线有「目.仅冇一个交点，但对称轴不是抛物线的切线；另一方面，直线是曲线的切线直线与曲线有且仅有一个公共点，例如木题屮曲线与其切线y-4x+4=0有两个公共点P(2,4),M(-4,-20),又如曲线y=sinxAi其切线y=1有无数个公共点僖曲线未必在其切线的“同侧”