资源描述：
《中考数学复习指导：旋转线段法求解等腰直角三角形问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、旋转线段法求解等腰直角三角形问题一、提出问题如图1,抛物线y=加过A(4,0),3(1,3)两点，点C,B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线丄兀轴，交x轴于点(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求；BAABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当443P的面积为6时，求出点P的坐标；(4)若点M在直线上运动，点N在兀轴上运动，当ACMN为等腰直角三角形时，请直接写出此时NCMN的面积.V本文主要研究第(4)小题一探究等腰直角三角形的通用解法.本题中要探究等腰直角三角形ACM,其中点C为定点，M,N分别为在两
2、条不同曲线上运动的两个动点.这类问题的难点在于三点中有两个动点，动点的运动范围较大，点与点的相对位置情况较多较复杂，対这样的问题，怎样才能顺利求解呢？二、引例探究若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线G:必=-2〒+4兀+2与C2:y2=-x2+mx-^-n为“友好抛物线”.⑴求抛物线C?的解析式;(2)点A是抛物线C?上在笫一象限的动点，过A作AQ丄兀轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值；(3)设抛物线C?的顶点为C,点B的坐标为(-1,4)，问在C?的对称轴上是否存在点M,使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB',
3、且点〃'恰好落在抛物线C?上?若存在求出点M的坐标，不存在说明理由.解⑴C?为:y2=-x2+2x+3.⑵略.⑶设点M的坐标为(l,m),则由图3可知点可看成由点M向下平移2个单位长度,向左平移（4-加）个单位长度而得，从而知B'坐标为（2-4+加，加-2）即（加-3,加-2）.代入C?的解析式，即得m=2,或m=5,从而点M的坐标为（1,2）或（1,5）.在本题的探究中，若点M在点B上方（如图4）,点3’的坐标仍然为（m-3,加-2）吗?结论显然.我们用平移坐标的方法，不难得到如下结论：对坐标平而内任意点P（x,y）,O（m/）,点P绕点
4、0顺时针旋转90。后的点的坐标为Pm-n+y.n-^m-x）点P绕点、O逆时针旋转90°后的点的坐标Pm+n-y,n-m+兀）.（证明略.）应用时不必记住这一结论，只要用平移坐标的方法很快能写出旋转后点的坐标.三、应用举例如图5,抛物线厶y=ax2+bx+c与兀轴交于A,3（3,0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0,3）,已知对称轴x=l.（2）求抛物线厶的解析式；（2）将抛物线厶向下平移力个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在AOBC内（包括OBC的边界），求力的取值范围；（3）设点P是抛物线厶上任一点，点Q在直线Z:x
5、=-3上，'PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若能，求出符合条件的点P的坐标;若不能，请说明理由・解（1）抛物线厶为：y=-x2+2x+3.⑵略.⑶设P点坐标为(加,/?)•若点5(3,0)绕P点顺时针旋转90°(如图6),则。点横坐标为m-n,由题意知m-n=-3.又斤=-m2+2m+3,解得m=1,或m=0,・・・P(1,4),或P(0,3).若点B(3,0)绕P点逆时针旋转90°(图略)，则。点横坐标为m+n,由题意知m+«=—3,又斤=-m2+2m+3,解得m=3+V3322222点评①本题中P点在抛物线上，0点在直线
6、/上，运动的范围较大，抛物线的走向和弯曲程度难以准确预判.等腰直角三角形摆放情况较多，这种问题不必考虑P点在抛物线上的位置，不必考虑存在的合理性，只看方程有解无解，这就降低了解题的难度，体现了旋转线段法强大的解题功效.②本题中因确定了以P直角顶点，所以只有一种情况需要探究.四、解决问题回到本文一开始提出的问题.(1)抛物线表达式为y=+4兀；(2)点C的坐标为(3,3),S斗bc=3；⑶略；⑷分以下情况求解：①若点C为直角顶点，设N(z?,0).W点绕C点顺时针旋转90°后M横坐标为0,M不在直线=l上，舍去;N点绕C点逆时针旋转90。后M
7、横坐标为6,M不在直线BH:x=l±f舍去.②若点N为直角顶点，设N（zO）.C点绕N点顺时针旋转90°后，M坐标为（斤+3,斤一3）,解“+3=1,得〃=一2,此时，M(l，—5)，N(—2,0),=-CN2=ll；2C点绕TV点逆时针旋转90°后M坐标为（〃一3,-n+3）,解〃一3=1,得〃=4,此时，A/(l,—l),/V(4,0),S'CMN①若点M为直角顶点，设C点绕M点顺时针旋转90。后N坐标为（4一“加一2）,解加-2=0,得m=2,此时,M(1,2)，2(2,0),C点绕M点逆时针旋转90°后N坐标为（加一2,加+2）,解
8、加+2=0,得m=-2,此时，M（l,—2）,2（—4,0）,Q_1厂“2_29-CM-—529综上所述，ACMN的面积为：一或——或5或17.22点评①本题中因未明确哪个点是直
