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《中考数学复习指导：双等腰直角三角形问题前解法分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、双等腰直角三角形问题前解法分析一个等腰直角三角形绕另i等腰直角三角形旋转，形成以双等腰直角三角形为背景的数学问题，在近年各地中考试卷中大量出现•本文拟通过对不同类型的双等腰直角三角形问题的剖析，找到某些共性，以达到帮助大家提高解题题能力的目的.一、共直角顶点的两个等腰直角三角形例1.如图匕已知MCB和AECD都是等腰盲粘二粘戒/人厂=90°,0为AB边上一点.(1)求证：ACE=BCDt(2)求证：2CD?=AD?+DB?.图1分析当两等腰直角三角形绕着公共的直角顶用、炬4J处孜n'J,必'云口塊土寻三角形，此题
2、第⑴问运用“通性”直接证明全等.第⑵问借助第⑴问的结论，利用等腰直角三角形两锐角互余，以及勾股定理，证明等式成立.注意到等腰三角形中的两腰相等，则旋转使两腰重合往往是解题中常用的途径之一.例2•如图2,在四边形ABCD中，点分别是AB,CD的中点，过点E作的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G,连结AG,BG,CG,DG，且ZAGD=ZBGC.(2)求证：AD=BC;(2)求证：AAGD:AEGF；AF)(3)如图3,若AD,BC所在直线互相垂直，求一的值.EF图2图3分析初看此题是一组对边相等的四边形问题，可仔
3、细分析条件可以发现，ADGC和MGB均为等腰三角形，当四边形ABCD中AD丄BC时，两等腰三角形即变为等腰直角三角形，题中三个问题层次分明，逐级递进.第⑴问利用垂直平分线性质直接证全等;第⑵问利用顶用相等的两等腰三角形相似得到对应边成比例，再借用夹角相等证相似;第(3)问通过对四边形中相等的一组对边特殊化，形成两等腰直角三角形，把两条线段的比转化为等腰直角三角形中斜边与直角边的比.虽然通过中点，转化的方法较多(相似、中位线、中位倍长构全等)，但本质上均需要构造等腰直角三角形.二、共底角顶点的两个等腰直角三角形例3.如
4、图4,A,B分别在射线OM,0N匕且AMON为钝角，现以线段0£0B为斜边向AMON外侧作等腰直角三角形，分别是△OAPAOBQ,点C,D,E分别是OA.OB.AB的中点.⑴求证：PCE=EDQ；图4⑵延长PC、QD交于点R.①如图5,若ZMON=50°,求证:AAB/?为等边三角形;An②如图6,若“赵沁，求Z如的大小和瓦的值.图5图6分析本题中两等腰直角三角形AOAP与AOBO中的一底角顶点0重合，通过AO4P绕点0旋转来设计相关问题.第(1)问利用三角形屮位线定理和直角三角形斜边上的中线结合平行四边形性质
5、证明全等(边角边).第(2)①问从对称的角度，通过添加辅助线(连结OC)过度，利用线段屮垂线证线段相等;第⑵②问，需要对⑵①问逆向思考，通过证PE丄EQ这一中间环节，得出APEQ与为等腰直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线性质与等腰直角三角形三边关系求出两线段的比值.值得注意的是，此题与例2图形相近，解法相近，考查的核心知识点相近.例4.已知两个共顶点的等腰三角形RtABC和&二ZCEF=90。，连结AFyM是AF的中点，连结MB,ME.⑴如图7,当CB与CE在同一直线上时，求证：MB//CF；(2)如图7,若C
6、B=a,CE=2a,求BM,ME的长；分析两个共底角顶点的双等腰直角三角形中，当两腰在一条直线上时，另两腰必平行.第⑴问利用这个性质结合M点为中点直接证全等;⑵问在⑴问的基础上，证明ABEM为等腰直角三角形;第⑶问研究在4CEF绕点C旋转45°时，△DWE的形状问题.图形形状发生了改变，但结论不变，方法不变，仍可借助中点构造等腰直角三角形，利用中位线性质进行转化证明.三、一直角顶点和一底角顶点重合的两个等腰直角三角形例5.如图9,在RtABC中，ZBAC=90°,AB=AD，点D是AC的中点，将一块等腰直角三角板如
7、图放置，使三角板斜边的两个端点分别与重合，连结BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.分析等腰直角AADE的底角顶点A与等腰直角AABD的直角顶点A重合，借助ABAE=EDC证明ABEC为等腰直角三角形.相当于共直角顶点等腰三角形AADE与^BEC旋转问题的逆问题.例6如图10,ABC和MCD是两个等腰直角三角形，ZACB=ZADC=9Q°,®长D4至点E,使AE=AD,连结EB,EC,BD.⑴求证：ABDA=ABEA;⑺若BC=近,求BE的长.分析本题中一等腰直角三角形的直角边与另一等
8、腰直角三角形的斜边重合，此种情况下一等腰直角三角形的斜边必与另一等腰直角三角形一直角边垂直•笫(1)问即在此基础上通过“三线合一”构造等腰三角形;第⑵问是根据等腰直角三角形的边角特征，借助勾股定理求线段长.四、一直角顶点和--底边屮点重合的两个等腰直角三角形例7如图11,在等腰直角ABC中，ZACB=90°,CO丄AB于点O,点分别在边AC,
