中考数学复习指导：分类剖析半角旋转问题

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1、分类剖析半角旋转问题本文所述“半角旋转问题”是指，A角的大小和位置固定时，B角的顶点与A角的顶点重合，且数量是A角的一半，当〃角绕公共顶点旋转吋，所产生的几何问题.这些数学题的解决能够考察学生对全等、相似等基本知识技能的掌握，以及对转化、数形结合等数学思想的应用，所以半角旋转问题成为2016年中考中的热点.笔者撷取部分题目，分类作出分析,供各位读者参考.一、45。角在90。角内的旋转例1如图1,正方形ABCD的对角线交于O,点M、N分别为BC、CD边上的动点(不与点3、C、D重合)，AM.AN分别交于点E、F,且ZMAN=45。始终不变.⑴求证:竺=d;AM2(2)

2、求证:AF丄FM;(3)请探索:在AMAN旋转过程屮，当ZBAM等于多少度时，ZFMN=ZBAM,写出你的探索结论，并加以说明.B分析由ZMAN=45°和ZCAD=45。，可得ZMAC=ZNAD,继而可证WWD，所以碧嘰号-再根据级皿45。，AF观吨=亍而，进而可得AF丄M*ZNAD・由于tan^NAD=—,又AD=AB,而且VAFB:VNFD,ADDN_DN_NF~AD~~AB~~AFFNtan乙NAD=——MF，又因为VAFM为等腰直角三角形，所以AF=MF,所以FN在RtNMFN所以ZMAC=ZFMNtanZFMN=——MF乙FMN+ZBAM=45°,所以当Z

3、MAC=ZBAM=22.5°时，ZFMN=ZBAM=22.5°.注本题首先耍观察ZMAN在围绕A点旋转过程中两组始终相等的角，然后结合待证结论和题目隐含的条件ZtWB二乙4CM证明VMAC:NFAD，而且无论M、N怎样运动，VM4C和VFAD始终保持相似.这种相似也可称之为动态相似，动态相似是半角旋转现象的一个突出的特点，也是在解决这类问题中表现出的通性通法.通性通法是有效解题教学的根本保证.例2己知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45。角绕点A旋转,角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连结EF,设CE=a,CF=b.(D如图2,当ZEAF被

4、对角线4C平分时，求d、b的值；(2)当VAEF是直角三角形时，借助图3求a、b的值；•C(3)如图4,探索ZEAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由.分析当ZEAF被对角线AC平分时，可证CE=CF=AC=4迈.当VAEF是直角三角形时，可分为两种情况:第一种ZA£F=90°,NFCEaVEBA,可得a=4f&=8;第二种ZAFE=90°,NECFaVFDA,可得a=8,b=4.而在ZEAF绕点A旋转的过程中，都有VACE:VFCA,—,即也二斗，故可得ab=32.CFACh4a/2注例2是在例1基础上，将M、N两点的活动范围扩大为在射线BC、CQ上

5、运动得到的.本题的解题突破口还是要找到半角旋转现象中始终相等的角，与例1不同的是，解决第(2)问用到全等而非形似，是增加条件“7AEF是直角三角形时”的特殊情况.而解决第(3)问则保持了与解决例1时相同的方法一一动态相似.半角旋转作为一种广义数学结构、数学模型具有内部的等价性、关联性、差异性，研究其等价性和关联性有助于学生快速寻找解题思路•研究差界性，有助于学生迅速调整解题思路，避免进人思维定式，所以对半角旋转的精致研究不可或缺.二、60。角在120。角内的旋转例3如图5.菱形ABCD,已知ZBAD=120。，ZEGF=60。,ZEGF的顶点G在菱形对角线AC1.运

6、动，角的两边分别交BC、CD于点、E、F.C4(G)(1)如图6,当顶点G运动到与A点重合时，求证:EC+CF=BC;⑵知识探究：①如图7,当顶点G运动到AC中点时，探咒EC、CF与BC的数量关系;D°「，请直接写出线段氏、CF与BC的数量关系(不蛊写出证明过程);(3)问题解决：如图&已知菱形边长为8,BG=7,CF=1.2,当/>2时，求EC的长度.分析当顶点G运动到与A点重合吋，可证VACE-V/1DF,继而可得DF=CE,所以EC+CF=BC;当顶点G运动到AC中点时满足EC+CF」BC,其证明过程如2下，过G作GH//AB交BC于H,所以CH=-BC.由于

7、GC=GH,2ZGHC=ZGCF=60°,ZEGH=ZCGF,所以VGHE三VGCF,所以1ACEC+CF=CH=—BC.仿照此证法可得，在定点G的运动过程中，若——=1,则有2CGEC+CF=丄BC.而当菱形边长为8,=7,CF=1.2f且/>2时，过B作丄AC,2垂足为根据勾股定理，可求GM=1,GC=3,又EC=1.8.注本题中半角旋转所产生的是动态全等，而动态相似和动态全等产生的区别在于半角旋转所在的具体环境不同，也即半角旋转所附着的特殊图形的性质不一样，这是半角旋转差异性的具体表现•在解决问题时要及时察觉这些差异性，并由此而思考在解题方法上应该继续坚持